«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

181
 
 
вещественных и два комплексных. Так как 
)
,
,
(
)
(
3
2
1
g
g
g
V
I
V
, то тем самым мы 
нашли все решения системы (1). 
Пример 2. Рассмотрим теперь полиномиальную систему (2) из [1] 
)
2
(
.
0
1
,
0
2
2
2
,
0
2
2
,
0
2
2
3
2
2
2
2
z
y
x
z
z
xy
y
xz
x
yz
x
           
 
 
Эта  система  была  получена  при  применении  метода  множителей 
Лагранжа  для  нахождения  экстремума  функции 
2
3
2
z
xyz
x
 при  условии 
1
2
2
2
z
y
x
.  Мы  используем  уже  испытанную  выше  технику  и  сначала 
находим  базис  Грѐбнера  идеала,  порожденного  левыми  частями  четырех 
уравнений  системы.  Этот  идеал  принадлежит
].
,
,
,
[
z
y
x
R
 Используется  lех-
упорядочение c 
.
z
y
x



. 
Непосредственное  вычисление  дает,  что  базис  Грѐбнера  состоит  из 
следующих элементов: 
 
.
288
11
1152
655
1152
1763
,
118
453
118
1605
59
576
,
3835
3839
295
827
3835
6912
,
3835
2562
295
906
3835
9216
,
3835
2556
295
108
3835
1152
,
3835
6403
295
1999
3835
19584
,
1
,
7670
134419
590
36717
3835
167616
2
3
2
3
3
5
7
2
4
6
3
3
5
2
3
5
2
3
3
5
2
3
5
2
2
2
2
4
6
z
z
z
z
z
z
z
yz
yz
z
z
z
z
y
z
z
z
y
yz
y
z
z
z
yz
xz
z
z
z
xy
z
y
x
z
z
z
yz
x
 
 
На  первый  взгляд  этот  набор  полиномов  выглядит  чудовищно. 
(Коэффициенты  элементов  базиса  Грѐбнера  могут  быть  гораздо  сложнее,  чем 
коэффициенты элементов исходного базиса.) Однако мы видим, чтопоследний 
полином зависит только от 
z
. Мы «исключили» другие переменные в процессе 
вычисления  базиса  Грѐбнера.  Волшебным  образом  этот  последний  полином 
имеет совсем просты корни 
.
2
8
/
11
,
3
/
2
,
1
,
0
z
 
Последовательно  подставляя  эти  значения  в  оставшиеся  уравнения,  мы 
можем решить их относительно 
x
 и 
z
 (и  относительно   также,  хотя  значения 
 нам не нужны). Итак, мы получаем следующий список решений: 

182
 
 
.
8
/
3
;
2
8
/
11
3
;
2
8
/
11
.
8
/
3
;
2
8
/
11
3
;
2
8
/
11
.
3
/
2
;
3
/
1
;
3
/
2
.
3
/
2
;
3
/
1
;
3
/
2
.
0
;
0
;
1
.
0
;
1
;
0
.
1
;
0
;
0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
 
 
Теперь легко найти минимальное и максимальное значение функции. 
Примеры  1  и  2  показывают,  что  вычисление  базиса  Грѐбнера  по 
отношению  к  lех-упорядочению  существенно  упрощает  форму  уравнений.  В 
частности,  мы  получаем  уравнения  с  последовательно  исключенными 
переменными.  Следует  отметить,  что  порядок  исключения  соответствует 
порядку переменных.  
Системы  такого  вида  легко  решаются,  особенно  если  последнее 
уравнение  зависит  только  от  одной  переменной.  Мы  можем  использовать 
технику  вычисления  корней  полиномов  от  одной  переменной,  а  затем 
подставлять  найденные  корни  в  другие  уравнения  системы  и  решать  их 
относительно других переменных.  
 
Литература: 
 
1. Д.  Кокс,  Дж.  Литл,  Д.  О’Ши,  Идеалы,  многообразия  и  алгоритмы. 
Введение  в  вычислительные  аспекты  алгебраической  геометрии  и 
коммутативной алгебры: Пер. с англ. – М.: Мир, 2000, - 687 с. 
2. B.  Sturmfels,  Gröbner  Bases  and  Convex  Polytopes.  –  Providence,  RI: 
AMS, 1995. 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ  
НАВЬЕ-СТОКСА МЕТОДОМ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ 
 
Куттыкожаева Ш.Н. 
Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова, г. Кокшетау 
shaharzat@mail.ru
 
 
В  данной  статье  рассматривается  метод  фиктивных  областей  с 
продолжением  по  младшим  коэффициентам  для  оператора  Стокса.  Здесь 
значение давления  и касательная составляющая скорости жидкости  на границе 
вспомогательной области  предполагаются нулевыми.  
Постановка задачи 
В области 
3
R
  рассмотрим уравнения Стокса: