С. Ж. Асфендияров атындағЫ

айтады.

х_j –белгіздер.

b_i –бос мүшелер.

Егер b₁=b₂=…=b_m=0. болса жүйе біртекті, керісінші жағдайда біртекті емес деп аталады.

Жүйе шешімі деп сызықтық теңдеулер жүйесінің орнына қойғанда оны теңбе-теңдіктерге айналдыратын (х₁,х₂,…,х_n), сандар жиынтығын айтады. Ең болмағанда бір шешуі болатын теңдеулер жүйесі үйлесімді деп аталады.

Шешімі жоқ теңдеулер жүйесі үйлесімсіз деп аталады. Сызықтық теңдеулер жүйесінің мәндестілігі Кронекер-Капелли теоремасымен анықталады. Сызықтық теңдеулер жүйесі Крамер әдісі, Жордан-Гаусстың интерациялық әдісі немесе матрицалық әдіспен шешіледі.

Екінші дүние жүзілік соғыс кезіеңіндегі АҚШ экономикасын талдау негізінде В.Леонтьев маңызды факт белгіленген: шамалар ұзақ уақыт бойына өте қарасытруға болады. Бұл құбылыс өндіріс технологиясының біріңғай деңгейінде айтарлықтай ұзақ уақытқа өзгермей тұратындығымен түсіндіріледі, яғни өзі де өнім шығаратын саланың басқа саланың өнімін тұтыну көлемі технологиялық константа. Осы факт бойынша сызықтылық гипотезасы арқылы сызықтық теңдеу жүйесі құрылады. Жүйенің матрица түрінде жазылуы Леонтьев моделі деп аталады.
Иллюстрациялық материал:

«М-2 дәріс» Электронды презентациялау.

1. Р.Т. Кельтенова Сызықтық алгебра: экономистерге арналған. Оқу құралы-Алматы: 2002

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. ПИТЕР 2007

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2000.

4. Кабдыкайырулы К., Оразбекова Л.Н. – Математика в экономике. – Қазақ университеті, 1999.

5. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.

6. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. –М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.
Бақылау сұрақтары:

1. Жүйедегі теңдеулер не себепті сызықты деп аталады?

2. Сызықты теңдеулер не себепті сызықты деп аталады?

3. Егер жүйенің бас анықтауышы нөлге тең болса, жүйенің неше шешуі бар?

4. Егер жүйенің бас анықтауышы нөллден өзгеше болас, жүйенің неше шешуі бар?

М-3 дәріс

Тақырыбы: Векторлар кеңістігі.
Мақсаты: Вектор және скаляр ұғымдарын енгізу. Векторлық және скалярлық шамаларды айыра білу біліктілігін қалыптастыру. Векторларға амалдар қолдану: қосу, азайту, санға көбейту.
Дәріс сұрақтары:

1. Вектор ұғымы. Векторларға сызықтық амалдар қолдану.

2. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі.

3. Векторлар жүйесінің базисы мен рангы.

4. Сызықтық оператордың меншікті мәндері мен меншікті векторлары.

Дәріс тезисі:

Табиғатта әртүрлі шмалар бар. Санмен ғана сипатталатын шамаларды скаляр шамалар немесе скаляр деп атайды. Мысалы: аурудың температурасы, заттың массасы және т.б. Алайда сипаттау үшін сан ғана емес оның бағытын да көрсету қажет болатын шамалар бар. Мысалы, ауырлық күші үдеу және т.б. Мұндай шамалар векторлық деп аталады.

Бағыты берілген кесінді вектор деп аталады.

Кесінді ұзындығы вектордың ұзындығы немесе модулы деп аталады.

Егер вектордың модулы нөлге тең болса, онда вектор нөлдік деп аталады. Модулы бірге тең вектор, бірлік вектор деп аталады.

Егер екі вектордың ұзындықтары бірдей, бірақ қарама-қарсы бағытталған болса, онда олар қарама-қарсы векторлар деп аталады.

Егер екі вектордың бағыттары параллель немесе ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, ондай векторлар коллинеарлы деп аталады.

Векторларды қосуға, азайтуға, санға көбейтуге болады. Әртүрлі есептерді шешу барысында бір ғана вектормен емес, бір өлшемді векторлар жиынтығымен жұмыс істеуге тура келеді. Ондай жиынтықты векторлар жүйесі деп атайды.

Векторлар жүйесінің максималды тәуелсіз ішкі жүйесі деп екі шартты қанағаттандыратын осы жүйенің дербес векторлар жиынын айтады:

1) бұл жиынның векторлары сызықты тәуелсіз;

2) жүйенің кез-келегн векторы осы жиын векторлары арқылы сызықты өрнектеледі.

Векторлар жүйесінің максималды тәуелсіз ішкі жүйесі оның базисы деп аталады.

Векторлар жүйесінің рангы деп оның базисінің векторлар санын айтады.

«М-3 дәріс» Электронды презентациялау.

1. Р.Т. Кельтенова Сызықтық алгебра: экономистерге арналған. Оқу құралы-Алматы: 2002

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. ПИТЕР 2007

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2000.

4. Кабдыкайырулы К., Оразбекова Л.Н. – Математика в экономике. – Қазақ университеті, 1999.

5. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.

6. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. –М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.
Бақылау сұрақтары:

1. Егер векторды теріс санға көбейтсе, жаңадан алынған вектор мен алғашқы вектор бір-бірімін қалай орналасады?

2. Векторлар айырымымен қосынды арқылы қалай өрнектеуге болады?

М-4 дәріс

Тақырыбы: Жазықтықтағы сызықтың теңдеуі.
Мақсаты: Жазықтықтағы сызықтар ұғымын енгізу Сызықтық түрін және олардың берілу әдістерін анықтау дағдыларын қалыптастыру.

Дәріс сұрақтары:

1. Аналитикалық геометрия пәні.

2. Бірінші ретті сызықтар.

3. Екінші ретті сызықтар.

4. Сұраныс және ұсыныс қисықтары.

Дәріс тезисі:

Аналитикалық геометрия- геометриялық объектілерді алгебралық әдіс арқылы зерттейтін математиканың бір бөлігі.

Аналитикалық геометрия өзара кері екі есептің шешуін қарасырады: қисықтың белгілі геометриялық қасиеттері бойынша берілген координаталар жүйесінде оның теңдеуін құру; қисықтың берілген теңдеуі бойынша оның геометриялық қасиеттерін анықтау.

Егер координаталар жүйесін енгізіп, сызықты жүйеге қатысты қарастыратын болсақ, онда сызықтардың әртүрлі болатындығын көруге болады.

Бірінші ретті сызықтарға теңдеудегі айнымалы шамалар тек қана бірінші дәрежелі болатын сызықтар жатады.

Түзудің жалпы теңдеуі: Ax+Bx+C=0

Көп кездесетін түзу түрлері: бұрыштық коэффициенті белгілі, берілген нүкте бойынша өтетін түзу екі нүкте арқылы өтетін түзу. Түзудің теңдеуі параметрлік түрде де берілуі мүмкін.Түзу теңдеуі белгілі болса, екі түзу арасындағы бұрышты анықтауға болады. Бұрыштық коэффициент арқылы екі түзудің перпендикуляр, параллель болу шарттары беріледі.

Түзу сызықтарға жатпайтын сызықтардың басқа түрлері екінші ретті сызықтар деп аталады.

Олардың канондық теңдеулеріндегі айнымалылар х және у екінші дәрежелі болып келеді. Ондай сызықтарға шеңбер, эллипс, гипербола, парабола жатады.

Экономикалық сұрақтарға сұраныстың немесе ұсыныстың бағанаға тәуелділік үрдістерін сипаттауда бірінші немесе екінші ретті сызықтардың теңдеулері қолданылады және олар сұраныс және ұсыныс қисықтары деп аталады.

Экономика үшін теңбе-теңдік шарты яғни ұсыныс пен сұраныстың теңдігі өте маңызды. Графиктегі мұндай нүкте теңбе-теңдік нүктесі деп аталады.

Жарықтың өрнекті моделі

Бағаның бірқалыптылығын іздеу өндіруші мен тұтынушының негізгі мәселесі.

«М-4 дәріс» Электронды презентациялау.

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. ПИТЕР 2007

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2000.

3. Кабдыкайырулы К., Оразбекова Л.Н. – Математика в экономике. – Қазақ университеті, 1999.

4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.

5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. –М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.

1. Екі түзудің қиылысу нүктесін қалай табуға болады?

2. Егер бұрыштың коэффициенті нөлге тең болса, онда түзу туралы не айтуға болады?

3. Егер элипистің үлкен және кіші осі өзара тең болса, онда эллипис жөнінде не айтуға

болады?

М-5 дәріс

Тақырыбы: Функционалдық тәуелділік ұғымы.
Мақсаты: Функционалдық тәуелділік ұғымын енгізу. Элементар функциялардың графиктерін талдау күрделі функциялардың графиктерін тұрғызу түрлендірулер әдісімен танысу. Функция шегі ұғымын енгізу.

Дәріс сұрақтары:

1. Функция ұғымы және функцияның берілу тәсілдері.

2. Негізгі элементар функциялар және олардың графиктері.

3. Күрделі функциялардың графиктерін құрудағы түрлендіру әдістері.

4. Функция шегі және оның қасиеттері.

Дәріс тезисі:

Табиғи және техникалық үрдістерді зерттеу барысында әртүрлі шамалармен жұмыс істеуге тура келеді: олардың кейбірі бірдей сандық мінін сақтайды, ал кейбіреулері әрттүрлі мәнді қабылдайды. Бірніші жағдайда оларды тұрақты, екінші жағдайда айнымалы шамалар деп атайды.

Тұрақты шамаларға судың қайнау температурасы дененің жылдамдығы және т.б. жатады. Практикалық есептерде айнымалы шамаларадың өзгеруі бір немесе бірнеше басқа айнымалы шамалардың өзгеруіне байланысты болады. Мысалы: кубтың жақтарының ұзындықтарының әртүрлі мәніне оның көлемі, тірі организмнің жасының әрбір мәніне оның массасы сәйкес келеді.

Егер хоХ әрбір мәніне қандай да бір белгі f заңы бойынша уоУ бір ғана анықталған мәні сәйкес келсе, онда Х жиынында f сандық функциясы беріледі делінеді және ол у=f(х) формуласы түрінде жазылады.

Х айнымалысы тәуелсіз айнымалы немесе аргуимент, ал У- тәуелді айнымалы немесе функция деп аталады.

Функция үш түрде берілуі мүмкін: аналитикалық, кестелік, графикалық. Функцияның аналитикалық түрде берілуі оны математикалық талдау көмегімен толық зерттеуге мүмкіндік береді.

1. 
   дәрежелі функция: у=хⁿ , n- нақты сан, х>0.
   

1. 
   Көрсеткіштік функция: у=а^х, а>0, aғ1.
   

2. 
   логарифмдік функция: у=log_ax, а>0, ағ1, и хо(0,+µ).
   
3. 
   тригонометриялық функциялар: у=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx.
   
4. 
   кері тригонометриялық функциялар: у=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx и y=arcctgx.
   

Шектің негізгі қасиеттері:

1. 
   Егер функцияның х® х₀, шегі бар болса, онда ол-жалғыз.
   
2. 
   Егер функцияның х® х₀ шегі бар болса, онда ол а нүктесінің қандай да бір аймағында шектелген.
   
3. 
   Егер бар және С-тұрақты сан болса, онда тұрақты санды шек таңбасының алдына шығаруға болады.
   
4. 
   Екі функцияның қосындысының шегі сол функциялардың шектерніңі қосындысына тең.
   

«М-5 дәріс» Электронды презентациялау.

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. ПИТЕР 2007

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2000.

3. Кабдыкайырулы К., Оразбекова Л.Н. – Математика в экономике. – Қазақ университеті, 1999.

4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.

5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. –М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.

1. Функционалдық тәуелділікте айнымалының әрбір мәніне екінші айнымалының неше мәні сәйкес келеді?

2. Егер функция шексіз үлкен шама болса, оған кері функция қалай аталады?

М- 6 дәріс

Тақырыбы: Функцияның туындысы мен дифференциалы.
Мақсаты: Бір айнымалы функцияның дифференциалы мен туындысы ұғымын енгізу туындының экономикалық есептерде кейбір қолданулаырын қарастыру. Кірістің максимумын табу.

Дәріс сұрақтары:

1. Туынды ұғымы. Туындының геометриялық мағынасы. Туындының механикалық

мағынасы.

2. Функцияның дифференциалы.

3. Функцияның экстремумдарының бар болуының қажетті және жеткілікті шарты.

4. Зерттеу әдістерінің экономикада қолданылуы.