Бейсенбаева К.А.
– к.ф.-м.н., доцент, Казахская академия транспорта и
коммуникаций им. М.Тынышпаева (г. Алматы, Казахстан)
Аблакимов А
. – студент, Казахская академия транспорта и коммуникаций
им. М.Тынышпаева (г. Алматы, Казахстан)
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Основная идея операционного исчисления
Рассмотрим класс функций, тождественно равных нулю при t<0. Сначала пусть это будут
бесконечно-дифференцируемые функции, которые могут иметь единственный конечный
скачок при t=0. Простейшее дифференциальное уравнение
)
(
'
t
f
y
,
0
)
0
(
y
y
(1)
представляет основную задачу интегрального исчисления. Здесь f(t) – оригинал,
а решение ищем тоже в классе оригиналов. Если мы хотим иметь решение также и в точке
t=0 , нам придется ввести различие в обозначение производной: оператор
дифференцирования, действующий на оригинал, в нуле порождает дельта-функцию
)
(
'
0
t
y
y
y
,
(2)
где
),
(
'
'
t
y
y
при t
0 и y’=0 , при t< 0
Уравнение (1) принимает форму
)
(
)
(
0
t
y
t
f
y
(3)
Введем оператор интегрирования
t
t
t
t
dtf
t
dtf
t
dtf
t
Jf
0
)
(
)
(
)
(
)
(
,
0 ,
который является однозначным и взаимнообратным с оператором дифференцирования,
Убедимся в этом
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
dt
dt
d
t
Jf
t
)
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)]
(
)
0
(
)
(
'
[
)
(
)
(
t
f
f
f
t
f
t
f
t
f
dt
t
f
dt
d
dt
t
f
J
t
t
Удобно обозначать оператор интегрирования как J=1/
.
Если пара этих операторов встречается рядом, то можно их произведение заменять
единицей
1
1
1
Уравнение (3) решается сразу:
433
«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ
РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ»
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0
0
0
)
(
)
(
)
(
y
t
f
dt
t
dt
y
t
f
dt
y
t
t
t
Это и есть общая формула для первообразной: если
0
y
не задано, то можно считать это
число произвольным.
Решим более общее уравнение
)
(
)
(
t
f
y
n
,
)
1
(
0
)
1
(
0
0
)
0
(
,...,
'
)
0
(
'
,
)
0
(
n
n
y
y
y
y
y
y
Вспомним формулу Тейлора с интегральным остатком:
d
t
y
n
t
k
y
t
y
t
n
n
k
n
k
k
0
1
)
(
1
0
)
(
)
)(
(
)!
1
(
1
!
)
0
(
)
(
Формулировка задачи Коши дает все, что нужно, для записи решения:
d
t
f
n
t
k
y
t
y
t
n
k
n
k
k
0
1
1
0
)
(
0
)
)(
(
)!
1
(
1
!
)
(
Другое простое уравнение получим из таблицы производных:
0
'
y
y
,
0
)
0
(
y
y
(4)
Оно имеет очевидное решение
t
e
y
t
y
0
)
(
Начнем с замены штрихованной производной на
y. Этот процесс будем называть
корректировкой уравнения:
)
(
'
0
t
y
y
y
, т.е.
)
(
)
(
)
(
0
t
y
t
y
Уравнение вбирает в себя и начальное условие. Решение существует, и оно единственно,
как это следует из теоремы о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения.
)
(
)
(
1
0
t
y
y
Основная идея операционного исчисления состоит в том, чтобы смотреть на оператор
дифференцирования, как на числовой множитель. В соответствии с этой идеей можно
написать
t
e
y
t
y
t
y
y
0
0
1
0
)
(
1
)
(
)
(
(5)
Отсюда получаем первое операторное представление
)
(
1
t
e
t
(6)
434
«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ
РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ»
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Легко проверить, что можно увидеть в этом равенстве и неформальный смысл:
приt>0
t
k
k
e
t
t
t
t
J
t
J
t
J
J
t
J
t
...
!
3
)
(
!
2
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
)
1
(
1
)
(
1
3
2
0
Совпадение с формулой (6) и подтверждает возможность обращения с операторами
и J
как с числовыми множителями.
Если видеть в операционном исчислении лишь метод для решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то формулы (6) вполне
для этого достаточно, если дополнить её следствием, которое получим из (6),
дифференцируя это равенство по
:
t
te
t
)
(
)
(
1
2
,
)
(
)
(
1
!
1
t
e
n
t
n
t
n
(7)
2. Математический аппарат операционного исчисления
Как оказалось, методы исчисления операционного анализа применимы не только для
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, но и
для решения интегральных уравнений, разностных уравнений, дифференциальных
уравнений в частных производных и т.д.
Учитывая это, построим математический аппарат операционного исчисления, который
можно использовать и для более простого и короткого решения и линейных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Уравнение гармонических колебаний
0
''
2
Достарыңызбен бөлісу: | 
