Производная функции. Правила дифференцирования

знать: формулу производной, основные правила дифференцирования.;

уметь: находить производную функции, используя основные правила дифференцирования.
Ход работы:

1. 
   Изучить теоретическое обоснование.
   
2. 
   Представить результаты практических заданий преподавателю.
   
3. 
   Оформить отчет.
   
4. 
   Ответить на контрольные вопросы.
   
5. 
   Домашнее задание.
   

https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/pravila-naxozhdeniya-proizvodnyx-proizvodnaya-stepennoj-funkczij?mid=%info%

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”. Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Задача 1. На станции метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью поезд метро должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с².

Для решения этой задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т.е. мгновенную скорость в этот момент времени. Тормозной путь вычисляется по формуле s = , где а – ускорение, t- время торможения. В данном случае s = 80, а=1,6, поэтому 80 = 0,8 t² , откуда t=10 с. По формуле υ= а t находим мгновенную скорость υ=1,6۰10=16, т.е. υ=16 м/с.

От мгновенной скорости зависит решение многих практических задач. Например, от скорости вхождения в воду спортсмена, прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения; от скорости запуска спутника зависит выход его на заданную орбиту. При нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость движения за малый промежуток времени. Рассмотрим, как связаны между собой средняя и мгновенная скорости движения. Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t), т.е. задана функция s(t).

Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим промежуток времени от t до t+h, где h-малое число. За время от t до t+h точка прошла путь длиной

s( t+h) - s( t).

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна отношению