Литература 1осн [9-18]; [40-44]; 3осн [13-37], Контрольные вопросы

a₀ ^y^  a₁ y^  a₂ y  b₀ x^  b₁ x  c₀ z

(2.1)

Введем для операции дифференцирования обозначение р, т.е. d/dt=p, dⁱ/dtⁱ =pⁱ. Используя его, уравнение (2.1) можно записать в виде

a₀ p² y  a₁ py  a₂ y  b₀ px  b₁x  c₀ z

(2.2)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования) р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение рy – как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая это замечание, перепишем (2.2), вынеся у и х за скобки:

(a₀ p²  a₁ p  a₂ ) y  (b₀ p  b₁ )x  c₀ z

(2.3)

Введем обозначения Q( p)  a₀ p²  a₁ p  a₂ ,

R₁ ( p)  b₀ p  b₁ ,

R₂ ( p)  C₀ . С помощью

этих обозначений уравнение (2.3) можно записать в более компактной форме

Q( p) y  R₁( p)x  R₂ ( p)z . (2.4)

В уравнении (2.4) Q(p) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют

^{собственным оператором, a R}1^{(p) и R}2^{(p) (дифференциальные операторы при входных величинах)}

— операторами воздействия.

Передаточные функции. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

W p  ^{R1 p} 


b₀ p  b₁
(2.5)

¹ Qp

a₀ p ²  a₁ p  a₂

^{и передаточной функцией W}2^{(p) по входной величине z, т.е.}

 
W p  ^{R2 p} 

² Q p

c₀ a₀ p ²  a₁
p  a₂
. (2.6)

Используя передаточные функции, уравнение (2.1) записывают в виде

^y=W1^(p)x+W2^{(p)z. (2.7)}

Это уравнение представляет условную, более компактную форму записи исходного уравнения (2.1). Уравнения (2.3), (2.4) и (2.7) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Используя запись дифференциальных уравнений в символической ферме (2.3) или (2.4) и рассматривая формально собственный оператор и оператор воздействия как обычные алгебраические сомножители, передаточную функцию в операторной форме также можно определить как отношение выходной величины к входной.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные входные величины полагают равными нулю.

Пример. Найдем передаточные функции в форме изображений Лапласа

La₀ ^y^  a₁ y^  a₂ y Lb₀ x^  b₁x  c₀ z.


 
Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала (свойства 1 и 2 преобразования Лапласа), при нулевых начальных условиях получим

a₀ s²  a₁s  a₂ Y s  b₀ s  b₁ X s c₀ Z s, (2.8)

где Y(s)=L{y(t)}, X(s)=L{x(t)}, Z(s)=L{z(t)}.

Полагая последовательно Z(s)=0, X(s)=0 и определяя каждый раз, отношение выходной величины к входной получим:

W p  ^{Y s} 

b₀ s b₁

, W p  ^{Y s}  ^c0

. (2.9)

¹ X s



2
a₀ s ²  a₁s  a₂

Z s


a₀ s ²  a₁s  a₂

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку р=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала — символическому умножению оригинала на р — при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем). Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.1) зависят от времени, формула (2.9) неверна.

Используя передаточные функции (2.9), уравнение (2.8) в изображениях Лапласа можно записать

Y s  W₁sX sW₂ sZs. (2.10)

Это уравнение, как и уравнение (2.8), адекватно исходному дифференциальному уравнению (2.1) только при нулевых начальных условиях. Если начальные условия не равны нулю, то уравнениями (2.8) и (2.10) как математическими описаниями исходного звена пользоваться нельзя. Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся

где T ²  a

/ a ; T  a / a

0 1 1 2 2

; k  b / a ; T  b / b ; k  c / a .

^{0 0 2} 1

1 2 1

1 2 2

0 1 2 0 2

^{В уравнении (2.11) постоянные Т}0^{, T}1 ^{и T}2 ^{имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты k}1 ^{и k}2 ^{— передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.1) не содержит у (а}2^{=0), то в стандартной форме коэффициент при производной у должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент а}1^.

В символической форме уравнение (2.11) принимает вид

T ² p²  T p 1y  k T p 1x  k z .

0 1 1 2 2

Временные и частотные характеристики

Динамические свойства линейных звеньев и САУ в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями и представлены графическими характеристиками. Применяют два типа таких характеристик – временные (переходные) и частотные. Характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. С помощью этих характеристик можно определить реакцию звена (САУ) и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена (САУ).

Временные характеристики

Рассмотрим некоторое динамическое звено (рисунок 2.1)

W(p)
x(t) y(t)

Рисунок 2.1

Различают два вида временных характеристик: переходная функция и функция веса.



Переходная функция звена представляет собой график изменения во времени выходной величины звена, вызванного подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Единичное ступенчатое воздействие можно аналитически записать:

_1, при

1(t)  _

_0, при

t  0

t  0

h(t) -реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, которое моделирует различные

переключения в системах. Следовательно, h(t) это

y(t)

при

x(t)  1(t) .

Наряду с переходной функцией существует импульсная переходная функция (функция веса), представляющая собой реакцию звена на единичный импульс.

Единичный импульс это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Площадь этого импульса равна единице при длительности равной нулю и высоте, равной бесконечности. На рис 2.3 единичный импульс условно показан в виде утолщения на оси ординат.

 (t) – дельта функция, w(t) – весовая функция

 ^(t) 
^,



^_0,

при
при

t  0

t  0


^; _ (t)dt  1^.



На практике возмущения сходные с  - функцией имеет место при ударах, действующих на объект. Следовательно, функция веса w(t) – характеризует реакцию звена на ударное воздействие.

Примерами таких воздействий могут быть, например, порывы ветра, действующие на самолет, гидравлические удары, возникающие при включении насосов в гидросистемах.

Так как

 (t)  ^d1(t) , то

dt

w(t)  ^dh(t) , и наоборот

dt

t

h(t)  _ w(t)dt .

0

Зная переходную или весовую функцию звена, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие с помощью следующих формул:

t

y(t)  h(t)x(0)  _ h(t  )x( )d

0
(2.12)

где x(0) – значение x(t) при t  0

t

y(t)  h(0)x(t)  _(t  )x( )d

0

Выражения (2.12) и (2.13) представляют собой различные формы интеграла Дюамеля или

интеграла свертки и могут быть получены одно из другого.

Частотные характеристики

(2.13)

О динамических свойствах звеньев и САУ можно судить не только по их временным характеристикам, характеризующим переходные режимы. Для этой цели можно пользоваться также зависимостями, характеризующими периодические режимы, устанавливающиеся в этих системах под воздействием гармонически изменяющегося возмущения. Такие зависимости называются частотными характеристиками.



Запишем уравнение линейной системы в общем, виде



a
d ⁿ y


⁰ dtⁿ

_d n-1 _y ^a1 _dtn-1

...  a_n y  b₀

d ^m x dt^m

_d m-1_x ^b1 _dtm-1

...  b_m x

(2.14)

В символической форме

m

0

1

0

1

n
⁽a pⁿ + a p^n-1 + ... + a

⁾y = ⁽b

p^m + b

p^m-1 + ...+ b ⁾x

(2.15)

Передаточная функция по определению равна