22 Гаусс үлестірім заңымен анықталған кездейсоқ шаманың берілген интервал мәндерін қабылдау ықтималдығы
Егер ықтимал тығыздығы f(x) функциясы арқылы берілсе, теңcіздігінің ықтималдығы
формуласымен анықталады.
Ал Гаусс үлестірім заңы бойынша берілген Х үздіксіз кездейсоқ шамасы үшін
Анықтама Үздіксіз Х шамасының модасы М0(х) дегеніміз үлестірім тығыздығының максимумы.
Үздіксіз кездейсоқ Х шамасының медианасы мына теңдікпен анықталады:
яғни егер х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда
Үлестірім қисығымен шектелген аудан тең екі бөлікке бөлінеді.
Егер
болса онда кездейсоқ шама х-тің аралығында жату ықтималдығы
мәніне тең.
Осы теңдіктен мына төмендігідей ықтималдықтар шығады.
Ереже. Егер х- кездейсоқ шамалы Гаусс заңымен үлестірілген болса, онда кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауыткқуының абсолют шамасы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіші болады.
Керісінше тұжырымда орынды:
Кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуының абсолют шамалы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіші болу ықтималдық бірге жақын мән қабылдаса ол кездейсоқ шама Гаусс заңымен үлестірілген болады. Бұл тұжырымды “үш сигма” ережесі деп атайды.
“Үш сигма” ережесінің өмірде қолданылуы өте көп, практикалық маңызы зор.
ЕКІНШІ ТАРАУ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
ТАҢДАМАЛАР ҮЛЕСТІРУІНІҢ ЭМПИРИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯСЫ
Ықтималдықтар теориясы арқылы есептелінген кездесоқ шамалардың сипаттамаларын (кездейсоқ шаманың орта мәні математикалық үміті, дисперсиясы, моменттері мода,медиана,т,с,с, тәжірибе арқылы да жуықтап есептеуге болады. Кездейсоқ шамалардың арасындағы әртүрлі байланысты яғни корреляцияны анықтаудың әдісін математикалық статистика дейді.
Тәжірибе жүргізуші экспериментатор бір шаманы өлшей отырып х1,х2,…хn мәндерін алған болсын дейік. Ол шаманы бақылау, өлшеу шарттары өзгермей қалып, бір тәжірибеде екіншісіне көшу бір-біріне тәуелсіз болсын. Өлшеу нәтижесінде шексіз көп факторлар әсер ететін болғандықтан бақыланған нәтижелер әртүрлі кездейсоқ мәндер қабылдайды. Өлшенетін барлық N бұйымның мәндер жиынтығын бас /генеральная/ жинақ (жиынтық) дейді, ал олардың ішіндегі n мәндер жиыны таңдама құрады х1,х2,…хn таңдамасындағы n саны таңдама көлемі деп аталады.
Егер кестенің бірінші жолында тәжірибенің реті /номері/ ал екінші жолында кездейслқ Х шамасының өлшенген мәні кәрсетілсе ол кестені статистикалық қатар деп атайды.
Егер кестенің бірінші жолында Х кездесоқ шамасының таңдамасы өсу тәртібімен орналасса,ал екінші жолы сол мәндердің неше рет қайталануы немесе оның жиілігін көрсететін болса, онда ондай кестені вариациялық қатар деп атайды. Өлшенетін Х шамасын вариация деп атайды (2.1-кесте).
ni жиіліктерінің қосындысы тәжірибе санына тең, яғни
-
|
Х вариация
|
X1
|
X2
|
…
|
Xk
| |
ni
|
n1
|
n2
|
…
|
nk
|
(2.1-кесте)
Бұл кесте таңдаманың көлемі n болатын жиіліктің үлестірім көрсетеді.
Салыстармалы жиілік деп жиіліетің таңдама көлеміне қатынасын айтады. Салыстырмалы жиіліктің үлестірімі 3.2-кесте арқылы жазылады. Ондағы
-
|
Х вариация
|
Х1
|
X2
|
…
|
xk
| |
Wiсалыстырмалы жиілік
|
n1/n
|
n2/n
|
…
|
nk/n
|
(2.2-кесте)
Барлық тәжірибе саны n (таңдама көлемі) ,ал nх кездейсоқ
шама х-тің х-тен кіші болатын мәндер саны болсын.
Анықтама. Үлестірімнің эмпериалық функциясы мына тендікпен анықталады:
/1/
Яғни, үлестірімнің эмперикалық функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.
Х кездейсоқ шамасының үлестірім F*(x) функциясын ол шаманың теориялық үлестірім функциясы дейді.
Үлестірімнің теориялық F(х) фунуциясы оқиғасының ықтималдығын көрсетсе, үлестірімнің эмперикалық Fn* (x) функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.
Үлестірімнің эмперикалық функциясы тің келесі қасиеттері болады:
10 функциясы 0 мен 1 аралығындағы мәндерді қабылдайды,себебі .
20 -кемімейтін функция, себебі Х артқан сайын nx мәні кемімейді.
30 Егер Х1 кездейсоқ Х шамасының ең кіші мәні болса, онда үшін =0, ал хk ең үлкен мәні болса, онда мәндері үшін =1.
Мысал. Таңдаманың үлестірімі бойынша эмперикалық функцияны табу керек.
Шешуі. Таңдаманың көлемі х вариация 4 6 10
/1/ формула n1=жиілік 12 18 30
бойынша
1
0,5
0,2
0 4 6 10 х
1-сурет
Бұл мысалдағы эмперикалық функцияның графигі 1-суретте көрсетілген.
Жиіліктің және салыстырмалы жиліктің полигоны деп (х1,n1),(х2 ,n2),…, ),(хк ,nк) және (x1,w1),(xk,wk) нүктелерін қосқанда шығатын сынық сызықты айтады.
Бірнеше топпен олардың жиіліктерінің ара қатынасын құратын статистикалық жинақтың графигі гистограмма деп атайды.
Гистограмманы салу үшін абцисса өсіне берілген топтарға сәйкес интервалдарды орналастырып, ордината өсіне әр интервал ішіндегі өлшенетін шама мәндерінің салыстырмалы жиілігінің интервал ұзындығына қатынасын салады. Сонда гистограмманың ауданы бірге тең болады.
Мысал . Ара қашықтықты есептейтін құралмен 100 рет есептегенде жіберілетін қателердің статистикалық жинағы келесі кесте арқылы берілген
|
Топтар
|
-20;
-15
|
-15;
-10
|
-10;
-5
|
-5;
0
|
0;
5
|
5;
10
|
10;
15
|
15;
20
|
| |
Қателер саны
(жиілік) nk
|
2
|
8
|
17
|
24
|
26
|
13
|
6
|
4
|
| |
Салыстырмалы жиілік Wk
|
0,02
|
0,08
|
0,17
|
0,24
|
0,26
|
0,13
|
0,06
|
0,04
|
|
0,26
0,24
0,17 0,13
0,08 0,06
0,02 0,04
20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 х
2-сурет
Бұл статистикалық жинаққа сәйкес келетін гистограмма 2-суретте көрсетілген. ОХ өсіне топтар орналасып, ал ордината өсіне салыстырмалы жиіліктердің топ ұзындығына қатынастары салынған. Топтар ұзындығы h=5.
Егер гистограмма нүктелерін үздіксіз қисыкпен қоссақ, онда шығатын график Х кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығының жуықталған графигін береді.
2.СТАТИСТИКАЛЫК ҮЛЕСТІРІМНІҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ
Өлшенетін шамаға сәйкес статистикалық қатар берілсін. Статистикалық /эмперикалық немесе таңдамалық/ орта деп
теңдігімен, статистикалық дисперсия деп
теңдігімен анықталатын шамаларды айтады.
Егер өлшенетін Х шамасының мәндері қайталанатын болып келсе, яғни 3-кесте берілсе, онда /1/ және /2/ формулалар сәйкес мына түрде жазылады.
-
|
x
|
x1
|
x2
|
…
|
xk
| |
n
|
n1
|
n2
|
…
|
nk
|
(3-кесте)
Статистикалық жинақ /топ/ арқылы статистикалық орта мен дисперсияны топтардың арифметикалық ортасы бойынша есептейді.
Кезгелген ретті статистикалык бастапқы және орталық моменттер келесі формулалармен анықталады:
k=1 болғанда бастапқы момент деп отырғанымыз-статистикалық ортаның өзі. k=2 болғанда /7/ формуладан статистикалық дисперсияны аламыз:
Одан статистикалық квадраттық ауытқу
Кейде, статистикалық өндеу мәселелерінде вариация коэффициенті деп аталатын V сипаттамасы енгізіледі де ол келесі формуламен есептеледі.
Егер Х арқылы өлшенетін шаманың барлық мәндерінің статистикалық ортасын, ал арқылы таңдаманың статистикалық ортасын белгілесек, онда
айырымын репрезентативтілік қатесі деп атайды.
Достарыңызбен бөлісу: |
