Тепловые свойства твердых тел


  Колебательный спектр двухатомной одномерной цепочки



жүктеу 1,25 Mb.
Pdf просмотр
бет5/22
Дата26.01.2022
өлшемі1,25 Mb.
#37247
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
L2

 

2.3  Колебательный спектр двухатомной одномерной цепочки. 

Акустическая и оптическая ветви колебаний 

Рассмотрим  продольные  колебания  атомов  одномерной  решетки  с  базисом,  когда  на 

одномерную  элементарную  ячейку  Бравэ  с  параметром  2

a

  приходится  два  атома  разных 

сортов, массы которых обозначим 

M

1

 и 



M

2

 (рис. 5.8). Силы, действующие между парами 



различных  атомов,  одинаковы  [59].  Пусть  вдоль  прямой  линии  располагается 

N

  ячеек. 

Система обладает 2

N

 степенями свободы. 

  

 

 



Рис. 5.8. Двухатомная линейная цепочка 

  

Обозначим 2



n

 четное положение равновесия атомов с массой 



M

1

, а 2



n+

1– нечетное для 

атомов с массой 

M

2



Пусть 

–  смещение  атомов  с  массой 



M

1

  вдоль  направления 



x

  в  момент  времени 



t

 

относительно его положения равновесия. Соответственно 



 – смещение атома с массой 

M

2

  из  его  положения  равновесия.  Пусть  (вновь,  как  и  для  моноатомной  цепи)  смещения 



малы  относительно  межатомного  расстояния 

a

,  а  силы  взаимодействия  квазиупругие. 




Будем  учитывать  взаимодействие  только  соседних  атомов.  Тогда  на  выбранные  атомы 

будут действовать силы 

,

 

.



 

(5.34) 


Воспользуемся вторым законом Ньютона для записи уравнения движения атомов 

обоих типов: 

,

 

.



 

(5.35) 


Учтем, что колебания атомов разных масс могут происходить с разными амплитудами 

 и 


. Решение системы уравнений (5.35) будем искать в виде бегущих волн: 

,

 



.

 

(5.36) 



Подставим  эти  решения  в  уравнения  (5.35)  и  сократим  общий  множитель 

 

в  каждом  из  уравнений.  Получим  систему  уравнений  относительно 



амплитуд смещений   и  . 

.

 



(5.37) 

Ненулевым  значениям  амплитуд 

 и 

 соответствует   обращение  в  нуль 



определителя из коэффициентов системы уравнений (5.37). 

,

 



(5.38) 

и 

 



(5.39) 

Отсюда получим уравнение, связывающее частоту колебаний 

 и волновое число 



k

 



(5.40) 

Корни этого биквадратного уравнения 

.

 

(5.41) 



Уравнение (5.41) также можно записать как 

 

Частота  колебаний 





 

не  может  быть  отрицательной  величиной,  поэтому  далее 

рассматриваются  только  положительные  значения.  Из  формулы  (5.41)  следует,  что 

каждому  волновому  числу 



k

  соответствуют  два  значения  частоты 

,  а  значит  две 



различные ветви спектра частот 

 

и 

 (



моды колебаний

), причем как частоты 




так  и  частоты 

 не  зависят  от  номера  атома



 

в  цепочке 



n

.  Итак,  эти  частоты  являются 

частотами собственных колебаний любого из атомов цепочки. 

Рассмотрим поведение ветвей частот 

 и 

 в зависимости от волнового числа 



k

При  малых  волновых  числах 



k

  (вблизи  центра  зоны  Бриллюэна),  т.  е.  когда 



ka



  1 



справедливо  приближенное  равенство 

.  Подставляя  этот  результат  в 

уравнение (5.41), получим 

.

 



(5.42) 

При 


 

для ветви частот 

 получим 

,

 



(5.43) 

поскольку  в  этом  случае  вторым  слагаемым  под  корнем  в  уравнении  (5.42)  можно 

пренебречь. 

Рассмотрим  ветвь  колебаний 

.  В  этом  случае  вторым  слагаемым  под  корнем  в 

уравнении (5.42) пренебречь нельзя. Обозначим 

 и 

разложим 



 в 

ряд, ограничиваясь двумя первыми слагаемыми разложения 

 

Тогда в силу малости членов более высокого порядка по 



x

, получим для 

 выражение 

.

 



(5.44) 

Таким  образом,  при  малых  значениях  волнового  числа  частоты  колебаний 

 и 

 записываются в виде: 



,

 

.



 

(5.45) 


Если  принять,  что  массы  колеблющихся  атомов  одинаковы  (

 

),  то  в  этом 



случае  выражение 

 совпадает  с  частотой  колебаний  цепочки  из  одинаковых  атомов. 

Значение скорости звука для этой ветви 

.

 



(5.46) 

Наряду  с 

 в  одномерной  цепочке  атомов  двух  сортов,  в  отличие  от  одномерной 

моноатомной  цепочкой,  присутствует  дополнительная 

 ветвь  колебаний.  При  малых 

значениях  волнового  числа 



k

  частоты  колебаний 

 определяются  величиной 



коэффициента  квазиупругой  силы 

  и  приведенной  массой  атомов  цепочки 



Чтобы  выяснить  физический  смысл 

 ветви,  сопоставим  значения  амплитуд 

колебаний ветвей 

 и 

 при малых значениях волнового числа 



k

Подставим формулу (5.45) для 



 в (5.37): 

 

и найдем отношение амплитуд смещений атомов разного сорта: 



.

 

(5.47) 



Из уравнения (5.47) следует, что при малых волновых числах 

k

 амплитуды смещений 

обратно пропорциональны массам атомов, а знак «-» показывает, что соседние атомы (т. е. 

атомы разного сорта) колеблются в противофазе (рис. 5.9). 

  

 

Рис. 5.9. При малых значениях волнового числа 



k

 атомы разного сорта колеблются в 

противофазе 

  

Центр масс системы имеет амплитуду смещений 



 

(т. к. из формулы (5.47) 

следует,  что 

). 


Следовательно,  центр  масс  системы  при  колебаниях  с 

частотами 

остается  фиксированным.  Подобные  колебания  могут  быть,  например, 

возбуждены  в  ионных  кристаллах  электрическим  полем  световой  волны.  Поэтому 

 ветвь колебаний получила название 

оптической

Подстановка 



 из 

(5.45) 


в 

(5.37) 


приводит 

к 

выражению 



и  отношение  амплитуд  смещений  атомов  разного 

сорта в этом случае имеет вид 

.

 



(5.48) 

Вблизи  центра  зоны  Бриллюэна  (при  k

0)  знаменатель  в  правой  части  выражения 



(5.48) стремится к единице, и отношение амплитуд также становится равным единице: 

(5.49) 



Равенство  (5.49)  показывает,  что  в  данном  случае  колебания  происходят  в  фазе  и 

имеют приблизительно одинаковые амплитуды. Это характерно для акустической волны, 

что и было причиной названия ветви колебаний 

 

акустической ветвью

Таким  образом,  характер  колебаний  атомов  в  двухатомной  одномерной  цепочке 



оказывается значительно более сложным, чем в моноатомной. 



жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау