2.7 Фононные спектры в кристаллах
Энергетические спектры фононов в реальных веществах, как правило, очень сложны и
для их описания необходимо знать детальный вид поверхностей постоянной частоты
в зоне Бриллюэна для всех ветвей спектра. Поверхности постоянной частоты
определяют очень важную характеристику фононного спектра − функцию
спектральной плотности фононов, которая задает число волн, или мод, приходящееся на
интервал частот от
до
+d
. Если обозначить количество волн в спектральном
интервале
через
dn
, то спектральная плотность колебаний одномерной моноатомной
цепочки определяется формулой
,
(5.63)
где
N
− число колеблющихся атомов,
− максимальная частота колебаний в
спектральном интервале. При низких частотах
пропорциональна
, а вблизи
функция
D
(
) имеет особенность корневого типа.
При наличии нескольких ветвей дисперсионных кривых, как это имеет место для
реального кристалла, где число базисных атомов равно
r
и общее число ветвей колебаний
3
r
, плотность состояний определяется суммой
.
(5.64)
На рис. 5.13 показаны кривые спектральной плотности фононов для продольной и
поперечных ветвей и суммарный спектр для алюминия. Значения частот, при которых
кривые
имеют резкие перегибы и острые пики, называются критическими точками
или
сингулярностями Ван Хова
. Этим значениям частот
соответствуют нулевые
групповые скорости
волн в некоторых направлениях. Параболический характер
фононного спектра при малых частотах аналогичен спектру колебаний атомов
одноатомной одномерной цепочки при малых частотах. Плотность состояний в этом
случае имеет вид
.
(5.65)
Резкий максимум на суммарной зависимости
D
(
) может быть связан с
максимальной частотой некоторых типов фононов. В кристаллах со сложной
многоатомной решеткой подобные особенности спектра могут быть связаны и с
оптическими ветвями колебаний. На рис. 5.14 изображен фононный спектр кристалла
кремния, где функцией является коэффициент оптического поглощения.
Резкие максимумы на представленной кривой связаны с возбуждением различных мод
колебаний атомов кристалла кремния.
Рис. 5.13. Спектр колебаний в решетке алюминия [59]
Рис. 5.14. Вид фононного спектра в кристалле кремния (Si) [88]
Знание фононных спектров необходимо для анализа и расчета многих физических
свойств твердых тел − оптических, тепловых, электрических и т. д. В экспериментах
определяют дисперсионные кривые продольных и поперечных волн в направлениях
высокой симметрии. Затем эта информация используется для численного расчета
плотности состояний
. При интерпретации спектров колебаний очень важным
этапом является анализ критических точек.
Достарыңызбен бөлісу: