2.6. Упругие волны смещений атомов. Фононы
Наиболее простой и физически наглядной моделью тепловых колебаний решетки
является волновая модель. В ней нормальные колебания атомов твердого тела заменяются
соответствующим набором бегущих упругих волн, удовлетворяющих циклическим
граничным условиям. Циклические граничные условия, определяющие, как было
показано выше для моделей моноатомной и двухатомной одномерных цепочек атомов,
набор разрешенных значений волновых чисел, позволяют рассматривать процесс
распространения упругих волн без учета эффектов отражения на границах кристалла.
Замена нормальных колебаний совокупностью бегущих волн позволяет, с одной
стороны, находить соответствующие им значения частот, а с другой, используя идею
квантово-волнового дуализма в квантовой механике, − ввести понятие квазичастиц,
описывающих элементарные тепловые возбуждения в твердом теле, и приписать каждой
такой квазичастице определенную энергию и импульс. Такая модель предполагает, что
энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной.
Квант энергии упругой волны называют
фононом
(по аналогии с фотоном). В
применении к фононам справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма.
Тепловые колебания атомов в кристаллах можно рассматривать как процесс
термического возбуждения фононов по аналогии с термическим возбуждением фотонов, а
теплопередачу − как процесс распространения фононов (так же, как процесс
распространения электромагнитных волн можно связать с процессом распространения
фотонов).
Одним из экспериментальных доказательств квантования упругих волн является
взаимодействие их с рентгеновскими лучами и нейтронами: энергия и импульсы
рентгеновских квантов и нейтронов изменяются в результате взаимодействия таким
образом, что эти изменения в точности соответствуют поглощению одного или
нескольких фононов. Измерение этих эффектов позволяет определить зависимость
частоты от волнового вектора, т. е. закон дисперсии.
В соответствии с принципами квантовой механики энергию стационарных состояний
осциллятора, которая соответствует энергии фонона, можно рассчитать из уравнения
Шредингера [64, 74]
,
(5.59)
где
− оператор Гамильтона, имеющий вид
,
(5.60)
− волновая функция,
− полная энергия осциллятора. В формуле (5.60)
−
оператор импульса, − оператор координаты,
m
− масса частицы,
− собственная
частота осциллятора − постоянная Планка.
Решением уравнения Шредингера являются
собственные
значения энергии
,
(5.61)
где
n
−
главное квантовое число
, которое может принимать целые неотрицательные
значения. Формула (5.61) показывает, что энергия фонона может иметь только дискретные
значения. Полная энергия системы, представляющей собой одномерную цепь одинаковых
атомов, с учетом потенциальной энергии в состоянии равновесия
U
0
может быть записана
в виде
.
(5.62)
Как видно из выражения (5.61), энергия осциллятора состоит из двух частей:
энергии
нулевых колебаний
(
n
=0) и энергии
, характеризующей возбужденное
состояние осциллятора. Наличие энергии
связано с тем, что даже при температуре
абсолютного нуля атомы совершают колебательные движения. Это утверждение связано с
правилом неопределенности Гейзенберга для координаты
x
и импульса
p
:
.
Согласно этому соотношению локализация атома в какой-либо точке пространства (
) вызывает большую неопределенность в его импульсе, а значит, и кинетической
энергии
и является энергетически невыгодной. С другой стороны, увеличение
области
локализации частицы приводит к росту потенциальной энергии
и
также невыгодно энергетически. Таким образом, энергия
нулевых колебаний
представляет собой минимальное значение энергии, которую может иметь частица.
У твердых тел (металлов, полупроводников или диэлектриков) амплитуда нулевых
колебаний значительно меньше межатомных расстояний. Вероятность делокализации
атомов при этом пренебрежимо мала, так что каждый атом можно рассматривать
локализованным в определенной области пространства, малой по сравнению с объемом
элементарной ячейки.
Поскольку частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты акустических,
то и энергия первых выше, чем вторых. Поэтому при очень низких температурах
возбуждаются только акустические фононы.
Достарыңызбен бөлісу: |