§3. Екінші ретті инварианттар
gradφ
жəне
rot
Φ
векторлар өрісін, ал
div
Φ
- скаляр өрісін
туғызатындықтан, олардың инварианттарын, атап айтқанда
φ
жə-
не
Φ
өрістерінің 2-ші ретті инварианттары деп аталатын
grad
(
div
Φ
),
div
(
gradφ
),
rot
(
gradφ
),
div
(
rot
Φ
),
rot
(
rot
Φ
) функцияларын
есептеп тапқан орынды.
Бұл есептеуде келесі ықшам белгілеулерді пайдаланған
ыңғайлы:
,
( , ),
.
grad
div
rot
ϕ
ϕ
= ∇
Φ = ∇ Φ
Φ = ∇ × Φ
(8.72)
мұнда
(«набла» атты) символы
3
1
def
i
i
i
e
x
=
∂
∇ =
∂
∑
(8.73)
өрнегін белгілейді.
3.1.
Гамильтон операторы
Əдетте
Гамильтон операторы
деп аталатын бұл «ғажайып
вектор» скаляр өрісі үшін
def
i
i
i
e
x
ϕ
ϕ
∂
∇ =
∂
∑
(8.74)
түрінде, ал векторлық өріске
257
( , )
,
i
def
i
k
i
X
e
div
x
∂
∇ Φ =
=
Φ
∂
∑
(8.75)
1
2
3
3
2
1
1
2
3
2
3
1
2
3
def
e
e
e
X
X
e
x
x
x
x
x
X
X
X
∂
∂
∂
∂
∂
∇ × Φ =
=
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
1
3
2
1
2
3
3
1
1
2
X
X
X
X
e
e
rot
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
+
−
+
−
=
Φ
∂
∂
∂
∂
(8.76)
түрінде қолданылады. Мұнда, əрине,
3
1
2
3
1
( ,
,
) .
i
i
i
X x x x e
=
Φ =
∑
(8.74) - (8.76) қатынастарын (8.56), (8.60) жəне (8.61)-ге қолданып,
2
2
(
)
( ,
)
,
( )
i
i
div grad
x
ϕ
ϕ
ϕ
∂
= ∇ ∇
=
∂
∑
(8.77)
rot
(
rotφ
) =
grad
(
div
Φ
) –
2
Φ
(8.78)
арақатынастарын аламыз, мұнда
2
2
2
( )
i
def
i
i
X
e
x
∂
∇ Φ =
∂
∑
(8.79)
жəне
div
(
rot
Φ
) ≡ 0, (8.80)
rot
(
gradφ
) ≡ 0, (8.81)
тепе-теңдіктерін шығарып аламыз.
3.2.
Лаплас операторы
.
Өрістің
векторлық потенциалы
2
3
2
1
0
( )
i
i
x
ϕ
ϕ
=
∂
∆ ≡
=
∂
∑
теңдеуі
Л а п л а с т е ң д е у і
атанғандықтан,
∑
=
∂
∂
=
∆
3
1
2
2
)
(
i
i
def
x
ϕ
ϕ
258
операторын əдетте
«
Л а п л а с о п е р а т о р ы
»
деп
атайды.
Лаплас
теңдеуінің шешімдері
г а р м о н и к а л ы қ ф у н к-
ц и я л а р
деп аталып, кең қолданылады.
(8.80) тепе-теңдігінен кез келген
ψ
векторлық өрісі өзге
Φ
өрісіне ротор болуы міндетті еместігі шығады. Мұндай
Φ
өрісі-
нің бар болуының қажетті шарты (8.80) теңдігінен шығады: ол
шарт
div
Φ
≡0.
Бұл шарттың (локальді мағынасында) жеткілікті екенін де
көрсетуге болады. Сондықтан дивергенциясы нөлге тең
ψ
өрісі
соленоидаль
немесе
т ү т і к ш е л і
ө р і с
деген арнайы атауға
ие болады. Егер
Φ
үшін
rot
ψ =
Φ
болса, онда оны
ψ
өрісінің векторлық потенциалы
дейді.
Сондай-ақ (8.81) теңдеуінен
Φ
векторлық өрісінің арнайы
түріне ғана
ψ
=
gradφ
орындалатын
φ
скаляр өрісін табуға болады.
Мұндай өрістің (оны
п о т е н ц и а л д ы
,
л а м е л л я р
немесе
қ а б а т т ы өріс
деп атайды) характеристикалық
белгісі (8.81) теңдеуден шығатын
rot
ψ
=0
шарты болып табылады.
φ
өрісі
ψ
өрісінің
п о т е н ц и а л ы
деп аталады.
3.3.
Скаляр өрісінің градиенті
u
=
f
(
x,y,x
) скаляр функциясымен анықталған скаляр өрісі
берілсін.
f
функциясын дифференциалдамалы деп болжаймыз.
8.2-анықтама
.
grad u
символымен кескінделетін берілген
М
нүктесіндегі
u
скаляр өрісінің градиенті
деп
259
u
u
u
grad u
i
j
k
x
y
z
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
(8.82)
теңдігімен анықталатын векторды айтамыз. Бағыт бойынша
туынды формуласын қолданып,
)
,
(
0
l
u
grad
l
u
=
∂
∂
болатынын көреміз, мұндағы
,
1
,
//
0
0
=
l
l
l
атап айтқанда
.
cos
cos
cos
0
γ
β
α
k
j
i
l
l
l
+
+
=
=
Градиент қасиеттері.
1. Градиент деңгей беті нормалімен (жазық өріс жағдайында -
деңгей сызығымен) бағыттас;
2. Градиент өріс функциясының өсу жағына бағытталған;
3. Градиент модулі өрістің берілген нүктесіндегі бағыт бойын-
ша туындының ең үлкен мəніне тең:
2
2
2
max
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
z
u
y
u
x
u
u
grad
l
u
Осы қасиеттер градиенттің инварианттық сипаттамасын
береді:
grad u
векторы берілген нүктедегі скаляр өрісінің бағытын
жəне өрістің неғұрлым үлкен өзгеру шамасын көрсетеді.
§4. Остроградский жəне Стокс теоремалары
Векторлық өріс теориясы негізінде екі интегралдық формула
жатыр. Олардың біріншісі орыс математигі əрі механигі
М. В. Остроградскийдің (1801-1861) еншісінде. Бұл формуланы
Остроградский еселі интегралдардың максимум жəне минимум
мəселесіне қатысты вариaциялық есептеу облысындағы
зерттеулеріне байланысты 1826 ж. ашып, 1838 ж. баспа бетіне
260
жариялады. Оның үстіне осы күнгі векторлық өріс теориясында
қолданып жүрген нұсқасымен салыстырғанда формула анағұрлым
жалпы түрде табылған.
Екінші интегралдық формуланы ағылшын гидромеханигі
Стокс (1819-1903) 1854 ж. тапқан. Остроградский теоремасы
көлем бойынша алынған интегралды осы көлемді шектейтін бет
бойынша алынған интеграл арқылы өрнектелуін береді. Стокс
теоремасы бет бойынша алынған интегралды осы беттің шекарасы
болып келетін жиек (контур) бойынша алынған қисықсызықты
интегралмен байланыстырады.
Остроградский теоремасы
.
a
векторлық өрісінің тұйық-
талған
S
беті арқылы ағыны
S
бетімен шектелген
Т
көлемі бойын-
ша алынған
div
a
-ның интегралына тең. Мұның өзінде
a
x
, a
y
, a
z
проекциялары мен олардың дербес туындылары
S
ішінде үзіліссіз
деп ұйғарылады. Сонымен,
S
T
ad
div a d
σ
τ
=
∫∫
∫∫∫
немесе
.
n
S
T
a d
div a d
σ
τ
=
∫∫
∫∫∫
Осы екі теңдеудің оң жақтарында тұрған интеграл үш еселі,
өйткені ол көлем бойынша алынған. Сол жағындағы интегралдар
бет бойынша алынған.
Дəлелдеу негізінде Остроградский түрлендіруі жатыр. Мұндай
түрлендіру кез келген еселі интегралды еселігі кіші интегралға
келтіру мəселесін шешеді.
Стокс теоремасы
.
a
векторлық өрісінің тұйық
L
сызығы
бойынша иірімі (циркуляция) шекарасы
L
болып келетін вектор
өрісінде жататын кез келген
S
беті арқылы өтетін құйындық
вектордың ағынына тең:
,
L
S
n
L
S
a dr
rot a d
a ds
rot a d
τ
σ
σ
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
∫
∫∫
∫
∫∫
261
Мұнда
a
τ
–
a
векторының
L
сызығының жанамасына түскен
проекциясы, ал
rot
n
a
–
a
векторы құйынының
S-
тің нормаліне
түскен проекциясы, сонымен бірге
L
-ді сағат тіліне қарсы айналу
қажет.
a
векторлық өрістің
a
x
, a
y
, a
z
проекциялары, өздерінің
дербес туындыларымен бірге
S
бетінде үзіліссіз болатындығы
ұйғарылады.
1-салдар
.
Стокс теоремасы
a
векторы құйынының ағыны,
L
сызығы арқылы өтетін
S
беті түріне тəуелсіз екенін жəне
a
векторының осы сызық бойынша алынған иіріміне тең екенін
уағыздайды.
2-салдар
. Егер
a
векторлық өрістің кез келген тұйық сызық
бойынша алынған иірімі нөлге тең болса, онда
rot
a
= 0. Мұндайда
өріс
құйынсыз
деп аталады.
262
ІХ тарау.
ОҚИҒАЛАРДЫҢ ЫҚТИМАЛДЫҒЫ
Достарыңызбен бөлісу: | 
