§18. Фурье қатары. Фурье интегралы
18.1. Негізгі ұғымдар
Тұтасымен сандық осьте анықталған
( )
y
f x
=
функциясы
үшін
х-
тің кез келген мəнінде
(
)
( )
f x T
f x
+
=
теңдігі орында-
латындай
T
0
≠
тұрақты саны табылса, онда
( )
f x
функциясын
периодты
дейді.
Т
саны функцияның
периоды
деп аталады. Осы
функцияның кейбір қасиеттерін атап өтейік.
1)
Т
периоды бар функциялардың қосындысы мен айырымы,
көбейтіндісі мен қатынасы да
Т
периоды бар функциялар болып
келеді.
87
2) Егер
f
(
x
) функциясының периоды
Т
болса, онда
f
(
ax
)
функцияының периоды
Т/а
болады.
3) Егер
f
(
x
) -
Т
периоды бар кез келген функция болса, онда
Т
ұзындығы бар аралықтар бойынша алынған қос интеграл бір-
біріне тең, атап айтқанда, кез келген
a
жəне
b
үшін
а Т
b T
a
b
f x dx
f x dx
( )
( ) .
+
+
=
∫
∫
18.2. Тригонометриялық қатар. Фурье қатары
Егер
f
(
x
) функциясы [-π, π] кесіндісінде бірқалыпты жинақ-
талатын
( )
n
n
n
a
f x
a
nx b
nx
0
1
cos
sin
2
∞
=
=
+
+
∑
(3.59)
тригонометриялық қатарына жіктелетін болса, онда мұндай жік-
телу жалғыз жəне коэффициенттер
п
а
f х dх а
f х
пхdх
0
1
1
( ) ;
( )cos
;
π
π
π
π
π
π
−
−
=
=
∫
∫
п
b
f х
пхdх
п
1
( )sin
, (
1,2,...)
π
π
π
−
=
=
∫
формулалары бойынша анықталады. Мұндай (3.59) қатарын
тригонометриялық
Фурье қатары
дейді.
18.3. Функцияның Фурье қатарына жіктелуінің
жеткілікті белгілері
Егер
х
0
нүктесінде
f
(
x
) функциясының шектеулі оң жақ шегі
мен сол жақ шегі бар болса,
х
0
нүктесін
1-
текті үзіліс нүкте
дейді.
Теорема 3.11
(Дирихле теоремасы
)
. Егер 2
π
периоды бар
периодты
f
(
x
) функциясы [-
π, π
] кесіндісінде шектеулі саны бар
1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе жəне осы кесіндіні, əр бөлігінде
88
f
(
x
) функциясы бірсарынды болатындай шектеулі саны бар бө-
лікке бөлуге келетін болса, онда функцияға қатысты алынған
Фурье қатары үзіліссіз нүктелерде
f
(
x
) функциясына жəне үзіліс
нүктелерінде біржақты шектердің арифметикалық ортасына
жинақталады. (Мұндай шарттарды қанағаттандыратын функция-
ны
бөлшекті-бірсарынды
дейді).
Теорема 3.12
.
Егер 2
π
периоды бар периодты
f
(
x
) функция-
сы [-
π, π
] кесіндісінде өзінің туындысымен бірге үзіліссіз неме-
се шектеулі саны бар 1-текті үзіліс нүктелеріне ие болса, онда
f
(
x
) функциясының Фурье қатары үзіліс нүктелерінде біржақты
шектердің арифметикалық ортасына жинақталады. (Осы теорема
шартын қанағаттандыратын функцияны
бөлшекті-тегіс функ-
ция
дейді).
18.4. Жұп жəне тақ функциялардың Фурье қатарлары
f
(
x
) функциясы, периоды 2
l
-ге тең,
f
(-
x
) =
f
(
x
) шартын
қанағаттандыратын, атап айтқанда жұп функция болсын. Онда
оның Фурье қатарындағы коэффициенттері үшін
l
l
l
а
f х dх
f х dх
l
l
0
0
1
2
( )
( ) ;
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
а
f х
dх
f х
dх
l
l
l
l
0
1
cos
2
cos
( )
( )
;
π
π
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
b
f х
dх
f х
dх
n
l
l
l
l
0
1
sin
2
sin
( )
( )
;
1,2,...
π
π
−
=
=
=
∫
∫
формулалары орынды.
Сонымен, жұп функциясына жазылған Фурье қатарына си-
нусы бар мүшелер кірмейді де, 2
l
периоды бар мұндай функция
үшін Фурье қатары
( )
n
n
a
пх
f x
a
l
0
1
cos
2
π
∞
=
=
+
∑
түріндегідей жазылады. Енді
f
(
x
), периоды 2
l, f
(-
x
) =
-f
(
x
) шартын
89
қанағаттандыратын, демек тақ функция болсын. Онда оның Фу-
рье қатарындағы коэффициенттері үшін
l
п
пх
b
f х
dх
n
l
l
0
2
sin
( )
;
1,2,...
π
=
=
∫
формулалары орынды.
Сонымен, тақ функциясына жазылған Фурье қатарында бос
мүше мен косинусы бар мүшелер болмайды, атап айтқанда, 2
l
пе-
риодты тақ функциясы үшін Фурье қатарының өзі
( )
n
n
пх
f x
b
l
1
sin
π
∞
=
=
∑
түрінде кескінделеді.
Егер
f
(
x
) функциясы [0
, l
] кесіндісінде Фурье тригонометриялық
қатарына жіктелетін болса, онда берілген
f
(
x
) функциясын [-
l,
0] кесіндісінде қосымша анықтай түсу керек, əрі қарай
Т =
2
l
ұзындықты аралықтарда қайталап, жаңа функцияны шығарып
аламыз да, оны Фурье тригонометриялық қатарына жіктейміз.
Кез келген шектеулі [
a, b
] кесіндісінде берілген периодты емес
функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін,
берілген функцияны [
b,
а +
2
l
] аралығында қосымша анықтай түскеннен кейін, периодты
түрде қайталап немесе [
b -
2
l, а
] аралығында қосымша анықтай
түскеннен кейін, периодты түрде қайталаған қажет.
Ескерту.
Егер функция [0
, π
] кесіндісінде анықталған болса,
онда
f
(-
x
) =
f
(
x
),
x >
0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын жұп функцияны [-
π, π
] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Сол сияқты
f
(-
x
) =
-f
(
x
),
x >
0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын тақ функцияны [-
π, π
] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Демек [0
, π
]
кесіндісінде анықталған бірден-бір функцияны Фурье қатарына
косинустар бойынша да, синустар бойынша да жіктеуге болады.
90
18.5. Кез келген функциялардың ортогональ жүйесі
бойынша алынған Фурье қатары
[
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз
п
х
х
х
1
2
( ),
( ),...,
( )
ϕ
ϕ
ϕ
(3.60)
функциялар тізбегі қос-қостан ортогональ болатын, атап айтқанда
b
i
j
a
х
х dх
i
j
( ) ( )
0; (
)
ϕ
ϕ
=
≠
∫
теңдігін қанағаттандыратын [
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз
п
х
х
х
1
2
( ),
( ),...,
( )
ϕ
ϕ
ϕ
функциялар тізбегін осы кесіндідегі
функ-
циялардың ортогональ жүйесі
деп атайды. Осыған қосымша [
a,
b
] кесіндісінде
b
i
j
a
i
j
х
х dх
i
j
0,
,
( ) ( )
1,
ϕ
ϕ
≠
=
=
∫
шарты орындалуында
жүйе ортогональ
жəне
мөлшерленген
(
ортонормаланған
) деп аталады.
Енді
f
(
x
) - [
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз кез келген функция бол-
сын. Мұндай
f
(
x
) функциясының [
a, b
] кесіндісінде
ортогональ
жүйе
бойынша алынған Фурье қатары
деп коэффициенттері
[
]
b
n
a
b
n
a
f х
х dх
n
х
dх
2
( ) ( )
;
1,2,...
( )
ϕ
ϕ
=
∫
∫
теңдігімен анықталатын
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
қатарын айтады. Егер [
a, b
]
кесіндісіндегі функциялардың
ортогональ жүйесі
ортонор-
маланған болса, онда
b
n
n
a
а
f х
х dх
n
( ) ( ) ;
1,2,...
ϕ
=
=
∫
91
Енді
f
(
x
) - [
a, b
]-да үзіліссіз, немесе шектеулі саны бар
1-текті үзіліс нүктелерге ие кез келген функция болсын. Мұндай
функцияның [
a, b
] кесіндісінде
ортогональ жүйе
бойынша
алынған Фурье қатары
деп
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
қатарын айтады. Егер
f
(
x
) функциясының (3.60) жүйесі бойынша
алынған Фурье қатары
f
(
x
) функциясының [
a, b
] кесіндісіне тиіс
əрбір үзіліссіз нүктесінде
f
(
x
) функциясына жинақталатын бол-
са,
f
(
x
) функциясын [
a, b
] кесіндісінде (3.60)
ортогональ жүйесі
бойынша қатарға жіктеледі
дейді.
18.6. Фурье қатарының комплексті кескіні
i nx
l
n
с e
π
+∞
−∞
∑
өрнегі,
n
c
коэффициенттерінің
l
i nx
l
n
l
с
f х e
dх
n
l
1
( )
;
0, 1, 2,...
2
π
−
−
=
=
± ±
∫
теңдігімен анықталуында
f
(
x
) функциясына жазылған
Фурье
қатарының комплексті кескіні
деп аталады. Комплексті кескінді
Фурье қатарынан нақты кескінді Фурье қатарына көшу жəне
керісінше нақты кескінді Фурье қатарынан комплексті кескінді
Фурье қатарына көшу
l
n
n
n
l
а
ib
а
c
c
f х dх
l
0
0
1
,
( ) ;
2
2
2
−
−
=
=
=
∫
n
n
n
n
а
c
b
c
n
2 Re ,
2 Im ,
1,2,...
=
=
=
формулалары көмегімен жүзеге асады.
92
18.7. Фурье интегралы
f
(
x
) функциясы əрбір [
-l, l
] (
l –
кез келген сан) кесіндісінде
бөлшекті-тегіс немесе бөлшекті-бірсарынды, оның үстіне
абсолютті интегралданатын, атап айтқанда
f х dх
( )
∞
−∞
∫
меншіксіз
интегралы
жинақталатындай болсын. Онда
f
(
x
) функциясы
( )
n
n
n
a
п
п
f x
a
х b
х
l
l
0
1
cos
sin
2
π
π
∞
=
=
+
+
∑
Фурье қатарына жіктеледі, мұнда
l
п
l
п
а
f t
tdt
n
l
l
1
( )cos
;
0,1,2,...
π
−
=
=
∫
l
п
l
п
b
f t
tdt
n
l
l
1
( )sin
;
1,2,...
π
−
=
=
∫
Егер коэффициенттерді
f
(
x
) функциясы үшін жазылған фор-
мулаға қойсақ,
( )
l
l
l
n
l
l
l
п
п
п
п
f x
f t dt
f t
tdt
х
f t
tdt
х
l
l
l
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
cos
( )sin
sin
2
π
π
π
π
∞
=
−
−
−
=
+
+
=
∑
∫
∫
∫
(
)
l
l
n
l
l
п
f t dt
f t
t х dt
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
2
π
∞
=
−
−
=
+
−
∑
∫
∫
теңдігіне келеміз.
Əрі қарай
l
→ ∞
да шекке көшсек
l
l
l
f t dt
l
1
lim
( )
0
2
→∞
−
=
∫
жəне
(
)
l
l
n
l
п
f х
f t
t х dt
l
l
1
1
( ) lim
( )cos
π
∞
→∞
= −
=
−
∑ ∫
орынды екенін дəлелдеуге болады.
93
Төмендегідей
n
п
n
n
n
u
п
и
u
u
u
l
l l
1
1
;
;
π
π
π
+
∆
=
∆ =
−
=
=
белгілеулерін енгізейік.
l
→ ∞
да
n
u
0
∆ →
жəне
(
)
l
n
n
l
n
l
f х
u
f t
u t х dt
1
1
( )
lim
( )cos
π
∞
→∞
=
−
=
∆
−
∑ ∫
болатыны шығады. Теңдіктің оң жағындағы қосындының шегі
(
)
du f t
u t х dt
0
( )cos
∞
∞
−∞
−
∫ ∫
интегралына тең екендігін дəлелдеуге болады. Онда
(
)
f х
du f t
u t х dt
0
1
( )
( )cos
π
∞
∞
−∞
=
−
∫ ∫
түріндегі интегралды
екі еселі Фурье интегралы
дейді. Ең
соңында
f
(
x
) функциясының
[
]
f х
a и
их b и
их du
0
( )
( )cos
( )sin
∞
=
+
∫
түріндегі Фурье интегралымен кескінделуін шығарып аламыз,
мұнда
a и
f t
utdt b и
f t
иtdt
1
1
( )
( )cos
,
( )
( )sin
.
π
π
∞
∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
18.8. Екі еселі Фурье интегралының комплексті кескіні.
Фурье түрлендіруі
Екі еселі Фурье интегралының комплексті кескіні
( )
iи x t
f х
du f t e
dt
0
1
( )
( )
2
π
∞
∞
−
−∞
=
∫ ∫
түріндегідей.
94
3.5-анықтама.
Егер
f
(
x
) функциясы тұтас сандық осьте абсо-
лютты интегралданатын, үзіліссіз немесе əр кесіндіде шектеулі
саны бар 1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе, онда
iиx
F u
f x e
dx
( )
( )
∞
−
−∞
=
∫
функциясы
f
(
x
) функциясының
Фурье түрлендіруі
деп аталады.
)
(
u
F
функциясы
f(x) функциясының спектрлі сипаттамасы
деп те аталынады.
Егер
f
(
x
) Фурье интегралымен кескінделетін функция болса,
онда
iиx
f x
F u e dи
1
( )
( )
2
π
∞
−∞
=
∫
деп жазуға болады. Осы теңдікті
кері Фурье түрлендіруі
дейді.
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )cos
π
∞
=
∫
жəне
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )sin
π
∞
=
∫
интегралдарын сəйкесінше
Фурье косинус түрлендіруі
жəне
Фурье синус түрлендіруі
дейді. Фурье косинус түрлендіруі
жұп
функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып, Фурье синус
түрлендіруі
тақ
функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып та-
былады.
Фурье түрлендіруі функционалды анализде, гармониялық
ана лизде, операциялық есептеуде, сызықтық жүйелер теориясын-
да кең қолданыс табады.
18.9. Мысалдар
1-мысал
.
х
f х
( )
2
π
−
=
функциясын [0
,
2
π
] кесіндісінде Фурье
қатарына жіктеу талап етіледі.
Шешімі.
Тізбекті түрде
х
а
dх
2
0
0
1
0,
2
2
π
π
π
−
=
=
∫
95
(
)
п
х
пх
а
пхdх
х
пхdх
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
sin
1
cos
sin
0,
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
=
−
+
=
∫
∫
(
)
п
х
пх
b
пхdх
х
пхdх
n
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
cos
1
1
sin
cos
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
= −
−
−
=
∫
∫
коэффициенттерін анықтаймыз. Сонымен
n
х
пх
x
п
1
sin
, 0
2 .
2
π
π
∞
=
−
=
< <
∑
(3.61)
2
-
мысал
. Алдыңғы мысалда
х
-ті
2
х-
ке алмастырып, шыққан
теңдіктің екі жағын екіге бөлсек
n
х
пх
x
п
1
sin 2
, 0
4
2
2
π
π
∞
=
− =
< <
∑
(3.62)
жіктемесіне келеміз.
Енді (3.61) теңдігінен (3.62) теңдігін шегеріп,
(
)
n
п
х
x
п
1
sin 2
1
, 0
4
2
1
π
π
∞
=
−
=
< <
−
∑
(3.63)
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда,
х
2
π
=
болуында
белгілі
1 1 1
1
...
4
3 5 7
π
= − + − +
Лейбниц қатары алынады.
3
-
мысал
.
х
х
f х
2
( )
4
2
π
=
−
функциясын қарастырайық та, оны
[0
, π
] кесіндісінде косинустар бойынша жіктейік.
Шешімі.
Фурье коэффициенттерін
х
х
а
dх
2
0
0
1
,
4
2
π
π
π
=
−
∫
п
х
х
а
пхdх
2
0
2
cos
4
2
π
π
π
=
−
∫
формулалары бойынша есептеп,
96
n
х
х
соsпх
п
2
2
2
1
4
2
6
π
π
∞
=
−
= −
+
∑
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда,
х
0
=
болғанда
n
п
2
2
1
1
6
π
∞
=
=
∑
түріндегі əйгілі Эйлер қатары шығады.
97
ІV тарау.
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Достарыңызбен бөлісу: |