Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым

Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы

жүктеу 2,51 Mb.

бет	9/30
Дата	23.11.2018
өлшемі	2,51 Mb.
	#24009

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 30

Тең бүйірлі үшбүрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болып табылады.
Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі

Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы.
Үшбұрыштың берілген төбесінен түсірілген биіктігі деп осы төбеден

үшбүрыштық қарсы жатқан қабырғасын қамтитын түзуге жүргізілген перпендикулярды айтады.

12-суреттен сендер екі үшбұрышты көріп отырсыңдар,

олардың В және В₁ төбелерінен биіктіктер жүргізілген. 12, а-суретте биіктіктің табаны үшбұрыштың қабырғасында жатыр, ал 12, б-суретте үшбұрыш қабырғасының созындысында жатыр.

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы. деп үшбұрыш бұрышының биссектрисасының осы төбені қарсы жатқан қабырғадағы нүктемен қосатын кесіндісін айтады (13, а-сурет).

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні айтады (13, б-сурет).

Тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының катеті
Теорема 6 (тең бүйірлі үшбұрыштың мединасының қасиеті). Тең бүйірлі үшбүрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болып табылады.

Дәлелдеу. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш, ал СD - оның табанына жүргізілген медианасы болсын (14-сурет).

Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша САD және СВD үшбұрыштары тең. (Оларда АС=ВС, өйткені АВС үшбұрышы тең бүйірлі. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар болғандықтан,

САD=CВD, АD және ВD қабырғалары тең, өйткені D нүктесі - АВ кесіндісінің ортасы).

Үшбұрыштардың теңдігінен келесі бұрыштардың теңдігі шығады:

АСD= ВСD, АDС= ВDС. АСD және ВСD бұрыштары тең болғандықтан, СD биссектриса болады. АDС және ВDС бұрыштары сыбайлас және тең болғандықтан, олар - тік бұрыштар, сондықтан СD үшбұрыштың биіктігі болады. Теорема дәлелденді.

Есеп 2. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына қарсы жатқан төбесінен жүргізілген биссектрисасы оның медианасы да, биіктігі де болып табылатынын дәлелдеу керек.

Шешуі. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбүрыш, ал СD - оның биссектрисасы болсын (15-сурет). АСD және BСD үшбұрыштары бірінші белгі бойынша тең. Олардың СD қабырғасы ортақ, АС = ВС, өйткені олар тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғалары, ал С төбесіндегі бұрыштары тең, өйткені СD - биссектриса. Үшбұрыштардың теңдігінен АВ=ВD екені шығады. Демек,

СВ - АВС үшбұрышының медианасы. Ал тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті бойынша СD биіктік те болып табылады.

Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі
Теорема 7. (үшбұрыштардың үш қабырғасы бойынша теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың үш қабыргасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабыргасына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталың, ABC және А₁В₁С₁ үшбұрыштарында АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, BC = B₁C₁ болсын (16-сурет). Үшбұрыштар тең екенін дәлелдеу керек.

Үшбұрыштар тең емес деп жориық. Сонда

A₁ ,

В₁ ,

С₁, болсын. Әйтпесе, олар бірінші белгі бойынша тең болар еді.

Айталық, А₁В₁С₁- ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын: оның C₂ төбесі С₁ төбесімен А₁В₁түзуіне қатысты бір жарты жазықтықта жатсын (16-суретті қараңдар) .

D нүктесі - С₁С₂ кесіндісінің ортасы болсын. Сонда А₁С₁С₂ және В₁С₁С₂- үшбұрыштары тең бүйірлі, ал С₁С₂ бұларға ортақ табан болады. Сондықтан бұлардың A₁D және B₁D медианалары биіктіктер де болып табылады. Демек, A₁D және B₁D түзулері С₁С₂ түзуіне перпендикуляр болады. A₁D және B₁D түзулері беттеспейді, өйткені А₁, В₁, D нүктелері бір түзуде жатпайды. Ал С₁С₂ түзуінің D нүктесі арқылы оған тек қана бір перпендикуляр түзу жүргізуге болады. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді.

Есеп 3. ABC және А₁В₁С₁ үшбұрыштарында АВ = А₁В₁, AC = A₁С₁

С=C₁ = 90°. АВС =

А₁В₁С₁ екенін дәлелдеу керек.

Шешуі. ABC және А₁В₁С₁- берілген үшбұрыштар болсын (17-сурет). СВА үшбұрышына тең CBD үшбұрышын, С₁A₁B₁ үшбұрышына тең C₁D₁B₁ үшбүрышын салайық.

АВD жәнеА₁В₁D₁үшбұрыштары үшінші белгі бойынша тең. Есептің шарты бойыншаАВ=А₁В₁, AD =A₁D₁, өйткені АС=А₁С₁; BD=B₁D₁, өйткені BD=AB, B₁D₁ = А₁В₁. ABD жәнеА₁В₁D₁ үшбұрыштарының теңдігінен

A=A₁ екендігі шығады. Шарт бойынша АВ=А₁В₁, AC = А₁С₁ ал дәлелдегеніміз бойынша

A₁. Олай болса, бірінші белгі бойынша

АВС=

А₁В₁С₁.

жүктеу 2,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 30