Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым

жүктеу 2,51 Mb.

бет	7/30
Дата	23.11.2018
өлшемі	2,51 Mb.
	#24009

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 30

Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналақан оған тең үшбұрыш бар болады
Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Үшбұрыштар теңдігінің белгілері Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі
Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Теоремаларды дәлелдеуде аксиомаларды пайдалану
Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі

Үшбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрышты үшбұрыштың сыртқы бұрышы дейді.

Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың болатыны туралы
Айталық, бізде АВС үшбұрышы және а сәулесі бар болсын (3, а-сурет). АВС үшбұрышын басқаша орналастырайық: оның А төбесі а сәулесінің бас нүктесімен беттессін, В төбесі а сәулесінде жатсын, ал С төбесі а сәулесі мен оның жалғасына қатысты берілген жарты жазықтықта жатсын. Орны өзгерген үшбұрыштың осы жаңа қалыптағы төбелерін А₁, В₁, С₁ деп белгілейік (3, б-сурет).

А₁В₁С₁ үшбұрышы АВС үшбұрышына тең.
АВС үшбұрышына тең және берілген а сәулесіне қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан А₁В₁С₁үшбұрышының бар болуын біз қарапайым фигуралардың негізгі қасиеттерінің қатарына жатқызамыз. Бұл қасиетті былай тұжырымдаймыз:
Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналақан оған тең үшбұрыш бар болады.

Теоремалар және дәлелдемелер
Қандай да бір геометриялық фигураның қасиеті туралы тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен анықталады. Бұл пайымдау дәлелдеме деп аталады. Дәлелденетін пікірдің өзі теорема деп аталады. Мысал келтірейік.
Теорема 1. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (4-сурет). а түзуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. А және В нүктелері әр түрлі жарты жазықтықтарда жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.

Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС

кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады (4, а-сурет).

Егер С нүктесі В нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС кесіндісі а түзуімен қиылысады, ал ВС кесіндісі қиылыспайды (4, б-сурет).

Екі жағдайда да а түзуі АС не ВС кесінділерінің тек біреуін ғана қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.

Теореманың тұжырымдамасы әдетте екі бөлімнен тұрады. Бір бөлімде

берілгендер туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың шарты деп аталады. Екінші бөлімде нені дәлелдеу керек екені туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың қорытындысы деп аталады. 1.теореманың шарты - түзу үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейді және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы - бұл түзу үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды.
Үшбұрыш аксиомасы

Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді екі-екіден қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны айтады.

Үшбұрыштар теңдігінің белгілері
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі
Теорема 2 (екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі).

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС және А₁В₁С₁ үшбұрыштарында

А=А₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁ болсын (5-сурет). Үшбұрыштар тең болатынын дәлелдейміз.

Айталық, А₁В₂С₂ - АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В₂ төбесі А₁В₁ сәулесінде жатсын, С₂ төбесі С₁ төбесімен бір жарты жазықтықта жатсын (6, а-сурет).

А₁В₁=А₁В₂ болатындықтан, В₂ төбесі В₁ төбесімен беттеседі (6, б-сурет).

В₁А₁С₁ =

В₂А₁С₂ болғандықтан, А₁С₂ сәулесі А₁С₁ сәулесімен беттеседі

(6, в-сурет). А₁С₁=А₁С₂ болғандықтан, С₂ төбесі С₁ төбесімен беттеседі

(6, г-сурет).

Сонымен, А₁В₁С₁ үшбұрышы А₁В₂С₂үшбұрышымен беттеседі, демек АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.

Теоремаларды дәлелдеуде аксиомаларды пайдалану
Теоремаларды дәлелдегенде аксиомаларды және бұрын дәлелденген

теоремаларды пайдалануға болатынын білеміз. Әдетте дәлелдеу кезінде аксиоманың тізімдегі нөміріне емес, оның мазмұнына сүйенеміз. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісін дәлелдегенде біз дәл осылай жасадық (2-теорема). Осы дәлелдеуді, онда пайдаланылған аксиомаларды көрсете отырып, тағы талдап шығайық.

Дәлелдеу мынадай сөздермен басталады: «Айталық, А₁В₂С₂ үшбұрышы АВС үшбұрышына тең болсын, оның В₂ төбесі А₁В₁ сәулесінде жатсын, ал С₂ төбесі С₁ төбесімен А₁В₁ түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын».

Аксиома бойынша мұндай үшбұрыш бар екенін білеміз.

Әрі қарай А₁В₁=А₁В₂ болғандықтан, В₁ және В₂ төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде кесінділерді өлшеп салу аксиомасы

пайдаланылады.

Одан кейін,

В₁А₁С₁ = В₂А₁С₂ болгандықтан, А₁С₂ және А₁С₁ сәулелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде бұрыштарды өлшеп салу аксиомасы пайдаланылады.

Ақырында, А₁С₁ = А₂С₂ болғандықтан, С₁ және С₂ төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде тағы да аксиома пайдаланылады.

Теореманың бұл дәлелдемесі тек қана аксиомаларға сүйенетінін көріп отырмыз.

Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі
Теорема 3 (бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі).

Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС және А₁В₁С₁ - екі үшбұрыш, оларда АВ = А₁В₁,

А = А₁ және

В= В₁ болсын (8-су-рет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдейік.

Айталық,А₁В₂С₂ – АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В₂ төбесі А₁В₁ сәулесінде жатсын, ал С₂ төбесі С₁ тебесімен А₁В₁ түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын.

А₁В₂ = А₁В₁болғандықтан, В₂ төбесі В₁ төбесімен беттеседі.

В₁А₁С₂=

В₁А₁С₁ және

А₁В₁С₂=

А₁В₁С₁ болғандықтан,

А₁С₂ сәулесі А₁С₁ сәулесімен беттеседі, ал В₁С₂ сәулесі В₁С₁ сәулесімен беттеседі. Бұдан С₂ төбесі С₁ төбесімен беттесетіндігі шығады.

Сонымен, А₁В₁С₁ үшбұрышы А₁В₂С₂ үшбұрышымен беттеседі, демек, АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.

жүктеу 2,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 30