Қажетті шарт орындалған жағдайда да, кейбір сыни нүктелерде функцияның локалдық экстремумдары болмауы мүмкін. Экстремумның бар болуының жеткілікті шарты келесі теоремамен беріледі

Қажетті шарт орындалған жағдайда да, кейбір сыни нүктелерде функцияның локалдық экстремумдары болмауы мүмкін. Экстремумның бар болуының жеткілікті шарты келесі теоремамен беріледі.

• Теорема. Функцияның екінші дербес туындылары
• болатындай функциясының сыни нүктесі бар болса, онда:
• 1. егер болса, онда нүктесінде экстремум бар
• болып және болғанда, , ал болғанда,
• болады;
• 2. егер болса, онда нүктесінде локалдық
• экстремум жоқ.
• 3. болса, онда локалдық экстремум туралы ештеңе айта
• алмаймыз. Қосымша зерттеулер қажет.

Мысал. функциясының экстремумдарын табыңыз.

• Шешуі: Мұнда
• Теңдеулер жүйесін
• шешіп, функцияның стационар нүктелерін анықтаймыз: , .
• Берілген фукцияның екінші ретті дербес туындыларын табамыз:
• нүктесінде тең болады.
• Бұдан , яғни .
• болғандықтан нүктесінде функцияның локалдық максимумы бар:
• Ал, нүктесінде болып, болады.
• Бұл жағдайда қосымша зерттеулер жасаймыз. нүктесінде функция
• мәні тең. болғанда, , ал
• болғанда, . Сонымен нүктесінің аймағында
• функциясы теріс те, оң мәндер қабылдайды. Олай болса, нүктесінде
• функция экстремумы жоқ

Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері

• Тұйық аймағында үздіксіз функциясы, осы аймақтың
• кейбір нүктелерінде ең үлкен, ең кіші мәндерін қабылдайды делік. Мұны
• функцияның глобалдық экстремумдары деп атайды. Сонымен берілген
• функция тұйық аймағында үздіксіз болса, онда осы аймақта
• (ішінде немесе шекарасында)
• болатын және нүктелері табылады.
• Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу ережесі:
• 1. Берілген функцияның дербес туындыларын тауып сыни нүктелерін
• анықтаймыз. Осы нүктелердегі функция мәндерін табамыз;
• 2. Аймақ шекарасындағы нүктелердегі функцияның ең үлкен және ең кіші
• мәндерін табамыз;
• 3. Бүкіл табылған функция мәндерін салыстыра отырып, ең үлкен және ең
• кіші мәндерін таңдап алмыз.

Әдебиет:

• И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г.
• В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.
• И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.
• Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.

• Назарларыңызға рахмет.

жүктеу 317 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: