2 -дәріс. Вариациялық қисаптың жәй есебі. Эйлер теңдеуі. Бірнеше функцияға тәуелді функционалдар

жүктеу 440,57 Kb.

Дата	25.07.2020
өлшемі	440,57 Kb.
	#31174

2-дәріс ВИМО

2 -дәріс. Вариациялық қисаптың жәй есебі. Эйлер теңдеуі. Бірнеше функцияға тәуелді функционалдар.

Вариациялық есептеудің жәй есебі . Ұйғарымды функцияларының 2.1-суреттегі жиынында анықталған функционалдың экстремумы туралы есепті қарастыралық:

(2.2)

Берілген функционалдың интегранты екі рет диффренциал-данатын үш айнымалылы функция деп санасақ, онда бірінші вариацияны жаза аламыз: (2.3)

Мұндағы және дегеніміз функцияның ұйғарымды вариациясы мен оның туындысы. Бұл кезде. Сонымен, бұл (2.1) – (2.3) есебі вариациялық қисаптың жәй есебі деп аталады.

2.1-теорема. функциясы (2.1) функционалын әлсіз экстремумге жеткізуі үшін ол Эйлер теңдеуін қанағаттандыруы қажет:

(2.4)

Диференциалданатын функцияның экстремумының қажетті шарты мен вариацияның өрнегін пайдаланып жазатынымыз:

.

Бұл қатынас шартын қанағаттандыратын кез-келген ұйғарымды вариациясы яғни функциясы үшін ақиқат. Дербес жағдайда, дәл осы шекаралық шарттарды қанағаттандыратын, шексіз дифференциалданатын барлық функция үшін де осы тұжырым орындалады. Сондықтан Дюбуа-Реймона леммасы бойынша кез-келген үшін (2.4) теңдігі орындалады.

Эйлер теңдеуі (2.1) функционалының әлді экстремумының да қажетті шарты болады. Бұл теңдеудің жатық шешімдері функционалдың экстремалдары делінеді.

Енді функциясы екі рет дифференциалданады деп (2.4) өрнегінің сол жақтағы бірінші қосылғышын түрлендірсек, Эйлер теңдеуі мына түрге келеді:

Бұдан, шарты орындалғанда, Эйлер теңдеуі дегеніміз – Коши теоремасы мен шешімнің жалғыздық шартын қанағаттандыратын – екінші ретті жәй дифференциалдық теңдеу екендігі көрініп тұр. Ал кезінде ол екінші ретті теңдеу емес; ол не бірінші ретті дифференциалдық теңдеу немесе алгебралық теңдеу. Ендеше функциясына қандай шарт қойғанда теңдеудің шешімі екі рет дифференциалданады деген сұрақ туады.

2.2-теорема. Мәселен функциясы (2.4) теңдеуінің шешімі болсын. Егер интегрантының екінші реттіге дейінгі дербес туындылары болса, онда ХОУ жазықтығының барлық нүктелерінде функциясы үзіліссіз екінші ретті туындыны иеленеді.#

Бірнеше айнымалының функционалдары. Айталық, функционал интегранты х айнымалысының екі функциясына тәуелді, яғни келесі түрде

, (2.5)

мұндағы – екі рет үзіліссіз дифференциалданатын бес айнымалылы функция. Функционалдың анықталу облысы ретінде төмендегі шеттік шарттарды қанағаттандыратын, класындағы функцияларының жұбын алайық:

(2.6)

Мұндағы функцияларының мен ұйғарымды вариациялары класына тиісті және

,

шекаралық шарттарын қанағаттандыруы тиіс, өйткені ұйғарымды функциялары кесіндісінің шеттерінде бекітілген мәнге ие болады. Қайбір мен ұйғарымды вариациялары үшін

дейік.Егер функцияларының жұбы функционалын экстремумге жеткізсе, онда екі айнымалылы функциясы (0;0) нүктесінде экстремумге ие болатындығы түсінікті.

Бұл жағдайда экстремумның қажетті шарты орындалады:

Анықталған интегралды параметр бойынша дифференциалдаудың Лейбниц формуласын пайдалансақ:

Бұл қатынастар шексіз дифференциалданатын қайбір мен функциялары үшін де ақиқат. Дюбуа-Реймон леммасына сай, функционал экстремумының келесі қажетті шартын аламыз:

Функциноналдың осы қажетті шартын n функцияға тәуелді интегрант жағдайына жалпыландыру қиын емес.

2.3-теорема. Егер екі рет үзіліссіз дифференциалданытын функциясы үшін

функционалы функцияларының жүйесінде экстремумге жетсе, онда функциялардың бұл жүйесі төмендегі дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі болғаны:

(2.9). #

Осы Эйлер теңдеулерінің (2.9) жүйесінің кез-келген жатық шешімі (2.8) функционалының экстремалдары деп аталады.

2.1-мысал. Функционал экстремалін табыңыз

Шешімі.

,

және

.
Эйлер теңдеулерінің жүйесі:

Бір функцияны мысалы, функциясын жою арқылы алатынымыз . Сипаттық теңдеу , оның түбірлері: , сондықтан:

.

Ал шартынан алатынымыз .

Шекаралық шарттарды пайдалансақ:

Осыдан, . Демек, .#

жүктеу 440,57 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: