Дəріс. Өтпелі процестерді операторлық əдіспен есептеу

табу керек болса, онда Лапластың кері түрлендіруі қолданады

                                                                 (5.2)

яғни (10.1) интегралды теңдеуді 

 функцияға қатысты шешу.

(10.2) интегралды былай белгілеуге болады:

 немесе 

.

Түпнұсқадан  туындылардың  жəне  интегралдардың  бейнелері  үшін

кейіптемелерін (шығарусыз) келтірейік:

 

 

Егер де 

 болса, онда                                                  (5.3)

                                                                 (5.4)

 жəне т.с.с.                                   (5.5)

Егер де 

 функция жəне оның туындылары 

 

 кезде кенет өзгерсе, онда (9.4) жəне (9.5) кейіптемелерге олардың мəнін

осы кенет өзгерісті есепке алып қою керек, яғни нөлдің оң жағында, бұл

жағдай олардың аргументтерінде 0+ белгімен көрсетілген. Егер де 

 кезде функцияның жəне оның туындыларының басты мəндері нөлге тең

болса, онда бірінші жəне одан соңғы туындылардың бейнелері өте жеңіл

табылады:

 жəне т.с.с.                                                        (5.6)

Тұп  нұсқаның интегралдық бейнелерінің түрі:

                                                                           (5.7)

                                                       (5.8)

Егерде интеграл 

 

 кезде кенет өзгерсе, онда оның мəнін

нөлдік  оң  жағынан  алу  керек,  бұл  жағдай  оның  жоғары  шегінде  0+

белгімен көрсетіледі.

 

5.2 Жіктеудің теоремасы

 

Бейне 

  (5.9)  дұрыс  бөлшек  түрде  берілсін,  алымның

жəне  бөлгіштің  жалпы  түбірлері  жоқ. 

  функцияның  полюстерінің

орыны 

  (10.10)  теңдеудің  түбірлерімен  белгіленеді.  (5.10)

теңдеудің   түбірлерін 

 деп белгілейміз.

Екі жағдай болуы мүмкін: а) барлық түбірлер жай; б) кейбір немесе

барлық түбірлер еселі.

а) жай түбірлердің жағдайы

Өте жай жағдайда бейне радионалды бөлшек түрінде болады:

                                              

(5.11)

 бөлшек қысқарылмайды, яғни 

 жəне 

 мүшелердің

жалпы  түбірлері  жоқ,  ал 

  жəне 

  -  заттық  сандар.  (5.11)  бейненің

               түпнұсқасын жікте теормасы деп аталатын кейіптеме бойынша

табуға болады:

                                                 

(5.12)

Мұнда  p

к

  сипаттамалы  теңдеудің,  яғни 

  теңдеудің  жай

түбірлері, бір түбір нөлге тең болуы мүмкін.

Егер  де  бір  түбір  нөлге  тең  болса,  яғни  бөлгіш  ішінде  (5.11)  р

көбейткіш бар болса, онда жіктеу теореманың басқа түрі қолданады.

                                           

(10.13)

б) еселі түбірлердің жағдайы

Егер де көп мүшелі 

 түбірлерінің ішінде еселі түбірлер болса,

онда  жіктеу  теореманы  (5.12)  жəне  (5.13)  формулаға  ұқсасты  жасауға

болады,  бірақ  оң  жағында    қосындымен  (бір  қосынды  түбірлер  саны

бойынша, ал екінші əрбір түбір үшін оның еселік реттігімен).

Сонымен, 

  теңдеуде  еселі  түбірлер  болса,  онда 

 кесінді бойынша тұп нұсқау мына формула бойынша есептеледі:

                               

(5.14)

Шаршы  жақшаның  бөлгішіндегі  көріністі  алдымен 

 шамаға қысқартып, содан кейін дифференциялдау керек.

Егер  де 

  теңдеуде  бір  мезгілде  жай  жəне  еселі  түбірлер

болса,  онда  жай  түбірлерге  сəйкесті  қосындыларды  (5.12)  жəне  (5.13)

формулалар, ал еселі түбірлер үшін  (5.14) формула қолданады. 

 

5.3 Операторлық түрдегі Ом жəне Кирхгофтың заңдары

 

5.1    суреттегі  R,  L,  C

тізбек 

  ЭҚК-ке  қосылып

тұрған,  ал 

  уақыт  мезгілде 

 ЭҚК-ке ауысып қосылады.

 

Ауысып 

қосылғаннан

кейін  Кирхгофтың  екінші  заңы

лезді 

мəндер 

үшін 

былай

жазылады.

    (5.15)

 

 

.                              (5.16)

мұнда 

  -  сыйымдылықта  ауысып  қосу  кездегі  кернеу,  яғни 

 кезде.

Лезді  мəндер  үшін  жазылған  түпнұсқасынан  оның  операторлық

түрде  жазылған  бейнесіне  өту  үшін  (5.1)  кейіптемеге  сəйкес  былай

істеледі:  (5.15)  теңдіктің  екі  жағын 

  шамаға  көбейтіп,  нөлден

шексіздікке дейін интегралдау керек. Онда шығады:

.

  деп  есептеп  жəне  (5.4),  (5.7),  (5.16)

кейіптемелерді есепке алып, шығарамыз:

 ал бұл теңдеуден R, L,

C тізбек үшін операторлық түрде Омның заңы шығады

                                                (5.17)

Бөлгіште тұрған көрініс операторлық кедергі деп аталады 

.                                                                                   

(5.18)

Операторлық кедергіге кері шама операторлық өткізгіш деп аталады

.                                                                            

(5.19)

Басты  жағдайлар  нөлге  тең  болса,  яғни 

  жəне 

 болса, онда (5.17) көрініс:

                                                            

(5.20)

яғни комплексті түрдегі Ом заңына толық ұқсас.

Тармақталған тізбектің əрбір түйіні үшін

.

Сондықтан  токтың  кесіндісін 

  белгілеп  Кирхгофтың

бірінші заңын операторлық түрде жазамыз:

                                          

(5.21)

 тармақтан құралған əрбір тұйықталған контур үшін

.

  деп  есептеп,  Кирхгофтың  екінші  заңы

операторлық түрде жазылады:

,

ал бұны былай жазуға болады:

,                                 

(5.22)

Былай  жазылған  түрде 

  жəне 

  -  индуктивтік

орауыштардағы токтың жəне конденсаторларды кернеудің басты мəндері.

Егер де басты жағдайлар нөлге тең болса, онда Кирхгофтың екінші

заңы былай жазылады:

                                                                  

(5.23)           яғни бұл жағдайда ол Кирхгофтың екінші заңы комплексті

түрде жазылғанға толық ұқсас.

Сонымен  Омның  жəне  Кирхгофтың  заңдары  операторлық  түрде

өздерінің  жазылу  түрі  бойынша  синусоидалды  ток  тізбегі  үшін  сол

заңдардың комплексті түрде жазылғанға ұқсас.

Бірақ  есте  ұстау  керек,  бірінші  –  басты  жағдайлар  нөлге  тең

болмағанда,  яғни 

  жəне 

  болғанда  əрбір  к  тармақта

сыртқы ЭҚК 

-дан басқа ішкі ЭҚК-тер 

 жəне 

 əсер

етеді.  (олардың  болымды  бағыттары  сол  тармақтағы  токтың  болымды

бағытына  сəйкес),  екінші  –  тармақтың  кедергісі  ретінде  операторлық

кедергі алынады.

 

жүктеу 1,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: