Күнделікті өмірде бізге кездесетін оқиғаларды мынадай үш түрге бөлуге болады: ақиқат оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар

жүктеу 13,4 Mb.

бет	1/160
Дата	20.05.2018
өлшемі	13,4 Mb.
	#14793

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 160

Кіріспе.

Күнделікті өмірде бізге кездесетін оқиғаларды мынадай үш түрге бөлуге болады: ақиқат оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар.

Ақиқат оқиғалар деп, белгілі бір Т шарттар жиынтығы орындалғанда міндетті түрде ордалатын оқиғаны айтады.

Мысалы: Ыдыстағы судың температурасы +20⁰, атмосфералық қысымы қалыпты жағдайда болатын болса «ыдыстағы су сұйық қалпында» оқиғасы ақиқат болады. Мұндағы берілген атмосфералық қысым мен судың температурасы Т шарттар жиынтығын құрайды.

Кездейсоқ оқиға деп, Т шарттар жиынтығы орындалғанда, орындалуы да орындалмауы да мүмкін оқиғаны айтамыз.

Мысалы: Тиынды лақтырғанда «елтаңба» немесе «сан» түсуі кездейсоқ оқиғалар. Бұл оқиғалардың қайсысы орындалатынын алдын ала айта алмаймыз, екеуінің кезкелгені орыналуы мүмкін.

Мүмкін емес оқиға деп Т шарттар жиынтығы орындалса да, орындалуы мүмкін болмайтын оқиғаны айтады.

Мысалы: Т шарттар жиынтығы орындалса да «ыдыстағы су мұз болып қатты» деген оқиға мүмкін емес, яғни орындалмайды, су қатпайды, себебі Т шарты бойынша температура +20⁰.

Оқиғаның нәтижесіне ықпал ететін себептер көп, және оларға әсер ететін заңдылықтар белгісіз болғандықтан, оның бәрін ескеру мүмкін емес. Бірақта, біртекті кездейсоқ оқиғаларды өте көп бақылау арқылы олардың белгілі бір заңдылыққа бағынатындығы байқалады. Осы заңдылықтарды тұжырымдаумен айналысатын пәнді ықтималдық теориясы дейміз. Сонымен ықтималдық теориясы дегеніміз, көптеген біртекті кездейсоқ оқиғалардың ықтималдық заңдылықтарын оқытатын пән.

Ықтималдық теориясының тәсілдері техника мен жаратылыстанудың әртүрлі салаларында қолданылады, мысалы жаппай қызмет көрсету теориясында, теоретикалық физикада, геодезияда, астрономияда, ату теориясында, автоматты басқару теориясында және көптеген теориялық және қолданбалы ғылымдарда.

Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдары құмар ойындардың теориясын жасауға талаптанған Кардано (итальяндық), Гюгенс (нидерландық), Паскаль, Ферма (француздар) т.б. ХУІ-ХУІІ-ғасырдың ғалымдарының еңбектерінде кездеседі. Ықтималдық теориясының дамуының келесі кезеңі Якоб Бернулли (швейцар), Муавр (ағылшын), Лаплас, Пуассон (француздар), Гаусс (неміс) т.б. ғалымдармен дамыды.

Ал кейінгі дамуы орыс ғалымдары: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов және бұрынғы совет математиктері : Бернштейн С.Н., Колмогоров А.Н., Гнеденко Б. В., Смирнов Н.В. т.б. ғалымдарға байланысты болды.

І бөлім

Кездейсоқ оқиғалар.

І тарау. Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдықтары

§ 1 Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы және кездейсоқ оқиғалардың түрлері.

Бұдан былай Т шарттар жиынтығы деп айтудың орнына «әрекет жасалды» деп қысқа ғана айтатын боламыз. Сонымен оқиғаны жасалған әрекеттің нәтижесі деп қараймыз.

Мысалы: Әр түсті асықтар бар дорбадан кезкелген бір асық аламыз. Асықты алғанымыз – жасалған әрекет, ал белгілі бір түсті асықтың шығуы – оқиға.

Анықтама. Жалғыз рет жасалған әрекетте, бір оқиғаның орындалуы басқа оқиғалардың орындалуын жоққа шығаратын болса (болдырмай тастаса) онда, ондай оқиғаларды үйлесімсіз оқиғалар дейміз.

Мысалы. Тиынды лақтырғанда «елтаңба» шықса «сан» шықпады дегенді ұғамыз. Сондықтан «елтаңба шықты» және «сан шықты» деген екі оқиға үйлесімсіз оқиғалар.

Анықтама. Жасалған әрекеттің нәтижесінде бірнеше оқиғалардың ең болмағанда біреуі міндетті түрде орындалса, ондай оқиғаларды толық топ құрайтын оқиғалар дейміз.

Кей жағдайда, толық топтың оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болса, онда әрекеттің нәтижесінде тек қана бір-ақ оқиға орындалады.

Мысалы. Мерген көздеп мылтық атсын. Бұл арада мына екі оқиғаның: «дәл тиді» , «тимеді» қайтсе де біреуі орындалады. Бұл екі үйлесімсіз оқиғалар толық топ құрайды.

Мысалы. Екі лотерея билетін алған адамға мына оқиғалардың тек қана біреуі орындалады.

ұтыс 1-ші билетке шықты да, 2-ші билетке шықпады;
ұтыс 1-ші билетке шықпады да, 2-ші билетке шықты;
ұтыс 1-ші билетке және 2-ші билетке де шықты;
ұтыс 1-ші билетке және 2-ші билетке де шықпады;

Бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз толық топты құрайды.

Анықтама. Орындалу мүмкіндіктері бірдей оқиғаларды тең мүмкіндікті оқиғалар деп атаймыз.

Мысал Тиынды лақтырғанда «елтаңба» немесе «сан» түсті оқиғаларының мүмкіндіктері бірдей. Сол сияқты ойын кубын лақтырғанда да, 1-ден 6-ға дейінгі ұпайлардың түсуі мүмкіндіктері бірдей, сондықтан ол оқиғалар тең мүмкіндікті болады.
§ 2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

Кезкелген математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясын құруда ықтималдықтың классикалық анықтамасына сүйенеміз.

Жалпы, ықтималдықтың классикалық анықтамасынан басқа да геометриялық, статистикалық, аксиоматикалық анықтамалары да бар.Олардың әрқайсысының қолданатын орны, ерекшеліктері, бір-бірінен артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Мысалы, геометриялық ықтималдықтар астрономия, биология, атомдық физика т.с.с. салаларында жиі қолданылғанымен ол классикалық анықтама сияқты айқын емес.

Ал статистикалық анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар, мысалы, үлкен жиынды зерттеу керек болғанда, ол қиын болғандықтан оның бәлігін (таңдаманы) зерттейміз, сөйтіп, таңдаманы зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы арқылы ықтималдықтың сандық мәнін бағалаймыз, яғни қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы негізделеді. Сонымен, ықтималдықтар теориясымен статистиканы (тәжірибені) байланыстыратын маңызды дәнекер модель–үлкен сандар заңына алып келеді (ол туралы алдағы бөлімдерде айтылады).

Осы анықтамалардың бәрінің негізі болатын ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет француз ғалымы Лаплас (1794-1827) берген еді.

Бұл анықтама саны шекті болатын тең мүмкіндікті элементар оқиғалар туралы қысқаша түсінік берейік.

Жасалған әрекетке (сынақ, тәжірибе) қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуіміз керек. Ал әрекет жасалғанда тек бірінің ғана орындалуын талап ете отырып, жасалған әрекеттің нәтижелерінің мүмкін мәндерін бұдан былай элементар оқиғалар деп атаймыз да, оны t_i арқылы белгілейміз . Элементар оқиғалар – әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал әрекеттің нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Әрекеттің барлық мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар жиыны дейміз. Мұны {ω} арқылы белгілейік. Элементар оқиғалар {ω} жиынының әрбір ішкі элементі оқиға деп аталады. Оларды А,В,С,.... әріптерімен белгілейміз. Мысалы, асықты үйіргенде барлық мүмкін нәтижелер жиыны

t₁,t₂, t₃, t₄} – элементар оқиғалар жиыны. Мұндағы t₁ – асық алшы түсті, t₂ – тәйке түсті, t₃– бүк түсті, t₄ – шік түсті оқиғалар.

Енді мысалмен негіздей отырып, ықтималдықтың классикалық анықтамасын берейік.

Жәшікте мұқият араластырған 2-жасыл, 3-көк, 1-ақ барлығы 6 асық болсын. Егер біз кезкелген бір асықты алатын болсақ, онда боялған (көк не қызыл) асықтың шығу мүмкіндігі ақ асыққа қарағанда көп. Осы мүмкіндікті санмен көрсетуге бола ма екен?

Соны көрсетейік: боялған асықтың шығуын А – оқиғасы деп белгілейік. Әрбір әрекеттің мүмкін болатын нәтижесін элементар оқиғалар деп атайық та t₁,t₂,.... т.с.с. белгілейік. Біздің жағдайда мынадай 6 элементар оқиғаның болуы мүмкін: t₁– ақ асық шықты, t₂, t₃– қызыл асық шықты, t₄, t₅,t₆ – көк асық шықты.

Бұл оқиғалар өзара үйлесімсіз, мүмкіндіктері бірдей болатын толық топты құрайды. Бұл жерде әрбір элементарлық оқиға бір-ақ мәнге ие болатынын атап айтуымыз керек. Біз қажет етіп отырған А оқиғасы орындалатын элементарлық оқиғаларды, біз үшін ыңғайлы элементарлық оқиғалар деп атаймыз. Біздің мысалда А оқиғасына ыңғайлы, яғни оның орындалуына ықпал етуші мынадай 5 элементарлық оқиғалар бар: t₂, t₃, t₄, t₅, t₆

Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, осы оқиғаның орындалуына ыңғайлы болатын, яғни ықпал ететін элементарлық оқиғалардың санын, мүкіндіктері бірдей, өзара үйлесімсіз, толық топ құрайтын, барлық элементарлық оқиғалардың санына қатынасын айтамыз да, былайша белгілейміз:

(1)

жүктеу 13,4 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 160