Комбинаторика элементтерін геометриялық мазмұндағы есептерді шешуде қолдану

1 сурет

Шешуі:
Жауабы: 3.
2.2.2 Ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын төрт нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?
2 сурет

Шешуі:

Жауабы: 6.
2.2.3 Ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын бес нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?
Шешуі:
Жауабы: 10.
2.2.4 Ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын n нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді? Осындай нүктелерді тұрғызу тәсілін көрсетіңіз.
Шешімі. A₁, …, A_n – n нүктенің ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды дейік. Осындай нүктелерді салу үшін оларды шеңбердің бойынан белгілеп алу жеткілікті.
A₁ нүктесі мен қалған нүктелер арқылы қанша түзу өтетінін анықтап алайық. Қалған нүктелердің саны (n – 1)-ге тең, және олардың әрқайсысы мен A₁ нүктесі арқылы бір ғана түзу өтетін болғандықтан, ізделініп отырған түзулердің саны (n – 1) болады. Осы A₁ нүктесі жөніндегі пайымдаулар кез келген нүкте үшін де орынды болатынын айта кетейік. Барлық нүктелердің саны n және олардың әрқайсысы арқылы (n – 1) түзу өтетіндіктен, есептелген түзулердің саны n(n – 1) болады. Әрине, оқушылар бере алатын бұл жауап толығымен дұрыс болып табылмайды. Мысалы, n = 3 кезінде n(n – 1) = 6 болады, ал түзулердің саны шын мәнісінде 3-ке тең. Оқушылардың өздері біз жоғарыда көрсеткен есептеуде әрбір түзудің екі реттен саналғанын байқағаны жөн, сол себепті де берілген n нүктенің әртүрлі жұптары арқылы өтетін түзулердің саны -ге тең болады.
Табылған түзулер санының формуласы үлкен маңызға ие, мұнан былайғы уақытта да әртүрлі комбинаторлық есептерді шығарғанда кездесетін болады. Әрбір түзу екі нүкте арқылы бірмәнді анықталатын болғандықтан, біз негізінен n элементтен қанша әртүрлі жұп құруға болатынын анықтадық. Бұл ретте олардың қандай элемент екендігі маңызды емес. Осындай жұптардың саны n элементтен тұратын, 2 элементтен алынған қайталанбайтын терулер саны деп аталады да, түрінде белгіленеді. Мысалы, егер сыныпта 20 оқушы болса, онда осы сынып оқушыларынан құруға болатын әртүрлі жұптардың саны = 190 болады.
Есептердің келесі топтамасы жазықтықтағы түзулердің жұптасқан қиылысуларының санымен байланысты. Жоғарыда тұжырымдалған аксиомадан екі түзудің бір нүктеден артық ортақ нүктесі болмайтындығы шығады.
Оқушыларға күрделілігі артып отыратын төмендегідей есептерді беруге болады.

2.2.5 Үш түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?

,
3 сурет
Шешуі:
Жауабы: 3.
2.2.6 Төрт түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?

4 сурет
Шешуі: Жауабы: 6.