Есеп шығарудың арнаулы әдістері

М ы с а л. Құрылыс объектісін жөндеуден өткізген сылақшылар мен сыршыларға 1000 сом сыйлық төленді: әрбір сылақшы 23 сомнан, ал әр сыршы 17 сомнан алды. Объектіде неше сылақшы, неше сыршы жұмыс істеді?

Шешуі. Жөндеуге қатысқан сылақшылардың санын — х, ал сыршылардың санын у деп белгілесек:

23х+17г=1000 (1)

Теңдеуін табамыз. Демек, мәселе анықталмаған теңдеудің бүтін шешулерін табуға тіреліп тұр. Бұл теңдеуден:

деп белгілесек, 2х=17t-1; бұдан .

Енді белгілеулерін енгізейік, онда .

Сонда ; (2)

Ал х пен у — оң бүтін сандар (жұмысшылардың саны), ендеше,

немесе

Демек, t-нің мәні 0, 1, 2 бүтін сандары бола алады. Осы мәндерді (2), (3) теңдеулерғе қойып, сарқа сынап х пен у-тің мәндерін таблица арқылы өрнектеуге болады:

Сөйтіп, теңдеудің үш бүтін шешімі бар екен, яғни 8 сылақшы және 48 сыршы, 25 сылақшы және 25 сыршы, 48 сылақшы және 2 сыршы.

Сарқа сынау әдісімен көптеген логикалық есептер мен теориялық-сандық мазмұндағы кейбір қарапайым есептерді шығаруға болады.

Жинақтау әдісінің мәні берілген өрнекті біртіндеп түрлендіру болып табылады. Осы мақсаттағы түрлендірулер тізбегінің соңы, ізделінді нәтижені тікелей көрсетуі тиіс. Мәселен, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде, оларға пара-пар теңдеулер немесе теңсіздіктердің шектеулі тізбегін құрады және бұл тізбектің соңғы буыны — шешуі бұрыннан мәлім теңдеу немесе теңсіздік. Ал дәлелдеуге берілген есептерді шығару көбіне белгісізден берілген мәліметтерге қарай жүргізілетін тепе-тең түрлендірулерден құралады. Пара-парлық қатынасы мен реттілік қатынастары транзитивті қасиетке ие болғанда ғана жинақтау әдісі жиі қолданылатынын ескеру керек.

М ы с а л. екенін дәлелдеу керек, мұнда а≠1.

Ш е ш у і. Теңсіздіктің сол жағы мен оң жағының айырмасын қарастырайық:

.

Ал а≠1 болғанда, .

Тепе-тең түрлендірулер пара-пар, демек, берілген теңсіздік дұрыс. Дәлелдеу керегі осы еді.

Жинақтау әдісі теоремаларды дәлелдегенде және салу есептерін шығарғанда жиі қолданылады. Шынында, белгілі бір теореманы дәлелдегенде бұрыннан мәлім теоремаларға және басқа математикалық сөйлемдерге сүйенеді. Ал геометриялық салуларды орындағанда қарапайым салуларды негізге алады.

Мәселен, мәселе есептің мазмұны бойынша құрылған теңдеу оның аналитикалық моделі, сызба геометриялық моделі болып табылады.

М ы с а л. Математикалық олимпиадада 6 есеп берілді. Шығарылған әрбір есеп үшін 10 ұпай қосылып, шығарылмаған есеп үшін 3 ұпай шегеріледі. Олимпиаданың келесі турына кемінде 30 үпай алған оқушылар шықты. Келесі турға шығу үшін қанша есеп шығару керек?

Бұл есептің аналитикалық моделі:

теңсіздіктер жүйесі.

Тағы бір мысал. у=х⁴-х² функциясының геометриялық моделі — парабола (17-сурет).



Графиктік әдіс мектеп математикасында маңызды орын алады. Бұл әдіс ізделетін шаманы жуықтап табуға көмектеседі. Алгебрада бұл әдісті теңдеулер мен теңсіздіктердің және олардың жүйелерінің шешімдерін табуға, квадрат теңдеулердің түбірлерін табуға жиі пайдаланады. Геометрияда берілген квадратқа тең квадрат салғанда, бұрышты тең бөліктерге бөлгенде және т. б. қолданылады.
№20 дәрістің тақырыбы: Теоремалар. Теоремаларды дәлелдеу әдістері.