I = j r 2 dm = jpr2 d V
(39.5)
0
1
( 3 9 . 5 )
ф о р м у л а с ы н д а ғ ы и н т е -
г р а л д а р
д е н е н і ң
б а р л ы қ
к ө л е м і
б о й ы н ш а а л ы н а д ы . О с ы и н т е г р а л -
д а р д а ғ ы р ж ә н е
г
ш а м а л а р ы н ү к -
т е ф у н к ц п я л а р ы , я ғ н и , м ы с а л ы ,
х,
у
ж ә н е
2
д е к а р т
к о о р д и н а т а л а -
р ы н ы ң ф у н к ц и я л а р ы б о л ы п т а б ы л а д ы .
М ы с а л
р е т і н д е
д и с к ж а з ы қ т ы ғ ы н а
ж ә н е о н ы ң ц е н т р і а р қ ы л ы ө т е т і н о с ь к е қ а т ы с т ы б і р т е к -
т і д и с к і н і ң и н е р ц и я м о м е н т і н т а б а й ы қ ( 1 0 2 - с у р е т ) . Д и С '
к і н і
қ а л ы ң д ы ғ ы
d r
б о л а т ы н
с а қ и н а л ы
қ а б а т т а р ғ а б ө -
л е й і к .
Б і р қ а б а т т ы ң б а р л ы қ н ү к т е л е р і о с ь т е н r - г е т е ң
б і р д ё й қ а ш ы қ т ы қ т а б о л а д ы . О с ы н д а й қ а б а т т ы ц к ө л е м і
м ы н а ғ а н т е ң :
п е р п е н д и к у л я р
d V — b l n r d r у
м ұ н д а ғ ы
b
— д и с к і н і ц қ а л ы ң д ы ғ ы .
Д и с к б і р т е к т і
б о л ғ а н д ы қ т а н , о н ы ң
т ы ғ ы з д ы ғ ы
б а р -
л ы к н ү к т е д е б і р д е й б о л а д ы ж ә н е ( 3 9 . 5 ) ф о р м у л а с ы н д а -
ғ ы р - н ы
и н т е г р а л
т а ң б а с ы н ы ң
с ы р т ы н а
ш ы ғ а р у ғ а б о
л а д ы :
145
R
I = p
I*
r2d V
— p I*
r2b 2~r dr
мүндаіы
R
— диск радиусы. 2л
b
тұрақты көбейткішті
интеграл таңбасыныц сыртына шығарайық:
R
I —
2 т с & р j*
r'Ad r —
2 л & р =
о
Ең ақырында, р тығыздығын
bnR
2 диск көлсміне көбепт-
кенге тең
т
диск массасын енгізіп, мынаны аламыз:
TtlfR
/ог>
с \
— ■
(39.6)
/
Қарастырылып отырған мысалда инерция момептіп
табу, дене біртекті әрі симметрияльт болғандықтан, ал
.инерция моментін біз симметрия осіпе қатысты іздегені-
мізден, сдәуір жецілденді. Егер де біз инерция моментін,
мысалы, дискіге перпендикуляр және оның жиегі арқы-
лы өтетін
O'O'
осіне қатысты (102-суретті караңыздар)
тапқымыз келсе, онда, сірә, оны есептеп
шығару
әлдеқайда күрделі болып шығар еді. Осыған ұқсас жағ-
дайларда, егер Ш т е й н е р т е о р е м а с ы н пайдалан-
сақ, онда. инерция моментін табу едәуір жеңілденеді, ал
бұл теорема былай тұжырымдалады:
кез пелген осы:е
қатысты 1 инерция моменті
—
берілген оське параллель
және денө инерциясының центрі арқылы өтетін оське қа-
тысты
/о
инерция моменті мен дененің пг массасының
осьтер арасындағы а ара қашықтығының квадратына кө-
бейтіндісінің қосындысына тең:
І = І 0 + та9-
(39.7)
Штейнер теоремасына сәйкес
ОуО'
осіне қатысты
инерция моменті диск центрі арқылы өтетін полюсі
tnR2
оське қатысты (39.6) біздің тапқан инерция моментіміз-
ге тец болады
(O'O'
және 0 0 осьтерінің арасындагы
қашықтық диск радиусына тец).
'
=
^ Г -
+
m R ~ = - Т
2
Сонымен, Штейнер теоремасы, кез келген оське қа-
тысты инерция моментін есептсп шыгарү, шын мәнісіпдс,
дене тинерциясыныц центрі арқылы өтетін сиське қатысты
инерция моментін есептеп шығаруға келіп тіреледі.
Штейнер теоремасын дәлелдеу үіиін формасы оркін-
146
ше ллынған денені қарастырайық (103-сурст) Бір-біріне
параллель болатын екі 0 0 және
O'O'
осьтерін алайык,
олардың біреуі
( 0 0
осі) дененің инерция центрі арқылы
өтеді. Осы осьтермен
хуг
және
x'y'z'
координата осьтерін
байланыстырайық; координата осьтерін
z
осі
0 0
осімен,
ал
г'
осі
O'O'
осімен дәл келетіндсй етіп таңдап аламыз
(103-суретте осы осьтер чертеж жазықтығына перпенди
куляр). Сонымен катар
х
және
х'
осьтерін, бір-біріне дәл
келетіндей және дененің инерция центрі арқылы өтетін-
дей етіп калап аламыз. Сонда Д/n,- элементар массалары
координаталарының арасында келесі қатыстар орын
алады:
x' = a + x t \ уі —уь
ыұндағы
a
— осьтердің ара қашықтығы.
Am-t
элементар массасының 0 0 осьтен қашықтығы-
нын квадраты мынаған тең:
Г2 = .*1+У?,
(39.8)
ал
О'О'
осьтен қашықтығының квадраты мынаған тең:
О
= Хі ~т у і — (xt
-f-
cCf"
-f-
у i
(39.9)
(39.8)
қатысты есепке алғанда, 0 0 осіне қатысты
дененіц инерция моменті мынадай өрнекпен анықталады:
h — Z f \Ami — Z ( x ] + y?)&rni,
(39.10)
ал
О'О'
осіне катысты инерция моменті [ (39.9) қатыеты
есепке алғанда] мынаган тец болады:
/ =
Z j ’,2iAm і = Z l
(a + А'/)
2
+ y 2i]
Am t.
(39.11)
Жай жақшапыц ішінде тұрған өрнекті квадрат дәре-
147
жеге шығарып, сәйкес қосылғыштарды өз ара топтасты-
рып, (39.11) өрнегін мынадай түрге келтіруге болады:
f — j \ { x 2i+ y 2
i) АШ
і
+ а 22 і к т і + 2а2:х і & п і.
(39.12)
(39.12) өрнегіндегі бірінші қосынды (39.10) өрнегі-
мен тсңбе-тең, яғни / 0 болып есептеледі; екінші қосынды
та
2 шамасын береді; ал үшінші қосындының нольге тең
екендігін байқау қиын емес. Шынында да,
z
осі дененің'
инерция центрі арқылы өтетіндіктен инерция центрініц
х с
координатасы нольге тец. Онымен қатар анықтама
бойыншахс ==
бұдан
Д т г-діц де полые
тең екені шығады.
0
Сонымен, (39.12) өрнегі
1
мынадай түрге келеді:
___________!---------------, - і А
І = І0 + та2,
_____
і
__1________ 1
дәлелдеу кереп де осы еді
I
[(39.7)
формуланы кара-
0
ңыздар].
104-сурс г.
Қорытындысында кейбір
денелердің инерция момент-
терініц мәніп келтірейік (дене біртекті деп ұйғарылады,
m
— дере массасы)
1.
Депе қимасы ор түрлі формадағы жіцішке ұзып
стержень болып келгеп. Стерженыііц сц үлкен көлденец
b
қимасы стерженыіің
I
ұзыпдығынап көп ссс кіші бо-
I-—
с
—
I
— о
105-сурет.
106-сурет.
лады (6<С/)- Стерженьге перпендикуляр және оныц қақ
о р т ^ ы арқылы өтстін оське қатысты инерция моменті
(/і#1-сурет) мынаған тец:
/ ==
1 9
-w
/2
2.
/?-діц /-ге кез келген қатынасында дискі нсмесе
цилиндр үшіп (105-сурет) цилпндрдіц геометрнялық оеі-
мен дәл келетін оське қатысты инерция момепті мына-
ған тең:
148
3. Дене — жұқа диск. Дискініц қалыцдығы
b
дискінің
R
радиусынан бірнеше есе кіші болады: (6<С7?) Дискі-
ніц днамстріие дәл ке.іетін оське қатысты инерция мо
мент! (106-сурет) мынаган тсң:
/ = 4 -
mR2.
4. Радиусы
R
болатын шардыц инерция моменті,
оның цептрі арқылы өтетіп оське қатысты, мынаған тец:
/ = А „ г/?2.
/ =
~ 1
Достарыңызбен бөлісу: |
