Кесте 1.5. Эквиваленттілік

Кесте 1.5. Эквиваленттілік 
операциясының шынайылық 
мағынасы
 
А
 
B
 
А = B
 
1
 
1
 
1
 
0
 
1
 
0
 
1
 
0
 
0
 
0
 
0
 
1
 
Кесте 1.6. Эквиваленттікті терістеу 
операциясының шынайылық мағынасы 
А
 
B
 
А = В
 
1
 
1
 
0
 
0
 
1
 
1
 
1
 
0
 
1
 
0
 
0
 
0
 
А  =  1  =  A,  ол:  А  жалған  болған  кезде  A-ның  бірлікке  барабарлығын 
білдіреді.  
А  =  0  =  A  жазбасы,  А  жалған  болған  кезде  A-ның  нөлге 
барабарлығын  білдіреді.  1.5-кестеде    эквиваленттілік  операциясының 
шынайылық мағынасы берілген. 
      Эквиваленттілікті 
терістеу.  Екі  пікірдің  эквиваленттілігін 
білдіретін  пікірді  терістеу  əрекетін  қолдана  отырып,  эквиваленттікті 
терістеу  деп  аталатын,  A  =  B  жаңа  кҥрделі  пікір  аламыз. 
Эквиваленттілікті  терістеу  А-ның    B-ға  эквивалентті  емес  екенін  
білдіреді. Эквиваленттілікті терістеу 1.6-кестеде берілген. 
Осы операция ЭЕМ жобалау теориясында өте маңызды, өйткені ол 
өзімен екі модуль бойынша кҥрделі қосарлы санды білдіреді. 
Екі  пікірдің  импликациясы.  Екі  пікірдің  импликациясы:  A  з  B 
болып белгіленеді; «егерде А, онда В» болып оқылады. Ол А ақиқат, ал 
В  жалған  болған  жағдайда  ғана  жалған  болып  келетін  кҥрделі  пікір. 
Осы пікірдің ақиқаттылығы мағынасы 1.7-кестеде берілген. 
Импликация  А  жағдайы  мен  В  салдары  арасындағы  мағына 
бойынша кері байланысты болжамайды, дегенмен мҧндай байланысты 
жоққа  шығармайды.  Импликация  мағынасын:  «А  жалған  немесе  В 
ақиқат»  тҥрінде  білдіруге  болады.  Осы  пікірде  «немесе»  жалғаулығы 
жойылмайтын мағынаға ие. 
Жоғарыда  көрсетілген  логикалық 
операциялар 
арқылы 
қарапайым 
пікірден  алынғанкез-келген  кҥрделі 
пікір, 
 
логика 
алгебрасының 
формуласы деп аталатын болады. 
1 . 7 - к е с т е  
Импликация 
операциясының 
шынайылық мағынасы
 
А
 
B
 
А    B
 
1
 
1
 
1
 
0
 
1
 
1
 
1
 
0
 
0
 
0
 
0
 
1
 

Қарапайым  пікірлердің  екі  формуласы  A
1
А
2
,  ...,  А
n 
əрбір  комбинация 
ҥшін пікірдің шынайылығы мағынасы А
1, 
А
2
„, А
n 
логика алгебрасының 
екі  формуласы  бірдей  шынайылық  мағынасы  ие  болған  жағдайда 
барабар  деп  аталады.  Қарайпайым  пікірдің  п  шынайылық 
мағынасының  əртҥрлі  комбинациясында  2
п
  дəлдігі  бар  жəне  осы  2n 
комбинацияларының  əрқайсысы  ҥшін  кҥрделі  пікірі  шынайы  немесе 
жалған болған жағдайда, онда 2
2n 
қарайпайым пікірдің п деректерінен 
жасалған  логика  алгебрасының  əр  тҥрлі  функциялары  болуы  мҥмкін. 
A, B  (яғни екі  ауыспалы  пікір)  екі қосарлы  ауыспалылық  жағдайында 
логика алгебрасының 16 əртҥрлі функцияларын жасауға болады, яғни, 
16  кҥрделі  логикалық  өрнектерді  бір-біріне  теңдестіру  керек.  Осы 
өрнектердің  арасында  жоғарыда  сипатталған  барлық  логикалық 
байланыстар  (бір  ауыспалы  функция  болып  табылатын  терістеуден 
басқа) бар. 
Логикадағы  алгебрасының  негізгі  заңдарды  білдіретін  келесі  тең 
арасалмақтар логика алгебрасында маңызды рөл атқарады: 
1)  А = А жалған болған кезде А-ның ақиқат екенін А білдіреді; 
2)  А 
^
 В = B
^
A (A жəне B= B жəне A) екенін білдіреді; 
3)  (А 
^
В) 
^
С = А 
^
(В 
^
С), ((A жəне B) жəне C) = (A жəне (B жəне 
C)) немесе, басқаша, логикалық көбейту заңын білдіреді ((A- B) • C) = 
( A - ( B - C ) ) ;  
4)  AvВ = В  vА,  A+ B= B+  A—арифметика курсының белгілі заңы 
екенін: «қосылатын сома орын ауыстырғаннан өзгермейді» білдіреді; 
5)  (AvВ) vС = Av(В vС) немесе (A+ В) + С = A+ (В + С); 
6)  A
^
  (В  vС)  =  (A
^
  В)  v  (A
^
  С)  оң  жақ  бөліктің  ақиқаттылығы 
кезінде сол жақ бөліктің ақиқаттылығын білдіреді; 
7)  Av(В 
^
С) = (AvВ) 
^
(AvС); 
8)  (A v В) = А 
^
 
В
 
; 
9)  (А 
^
В) = А v В; 
10)  A 
^
A = A; 
11)  A v A = A; 
12)  A 
^
1 = A; 
13)  A v 0 = A. 
Көрсетілген арақатынастардың əділдігі логикалық операциялардың  
- 
конъюнкция,  дизъюнкция  жəне  терістеудің  анықтамалары 
жəнекестелерінің  негізінде  жҥргізілуі  мҥмкін.  1  -  13  арасалмағы 
кҥрделі  логикалық  өрнектерді  қарапайым  пішімге  тҥрлендіру  ҥшін 
пайдаланылады.2  –  5  арақатынастары,  конъюнкция  жəне  дизъюнкция 
операциялары  ҥшін  ауыстырыдымдылық  жəне  ҥйлесу  заңдары  əділ, 
соның арқасында көптеген конъюнкция жəне дизъюнкцияны жақшасыз 
жазуға  болады.  Мысалы:  [(A
^
В) 
^
C] 
^
D  орнына  A
^
В 
^
C
^
D  жазуға 
болады.  

Логикалық формулалардағы жақшалардың санын одан əрі азайту ҥшін 
біз  «V»  белгісінің  көмегіне  қарағанда,  «^»  белгісінің  көмегімен 
байланысты  есептеуді  қабылдадық,  соңғысы  «≡»,  «≠»  жəне  «∩» 
белгілерінің көмегіне қарағанда тығыз.A ^В ^C ^D... тҥрінің өрнектерін 
туынды, ал оның мҥшелерін – көбейткіштер деп атайды. 
A 
V 
В 
V 
С 
V 
...  формасының  өрнектері  сома  деп  аталады,  ал  оның 
мҥшелері  –  қосылғыштар  деп  аталады.  6  арақатынасы  логика 
алгебрасындағы дизъюнкцияға қатысты конъюнкцияның ҥлестірімділік 
заңының əділ екенін көрсетеді. Оның А^(В + С) = А^В + А^С (мҧнда 
нҥкте  логикалық  көбейтуді,  ал  «қосу»  белгісі  логикалық  қосуды 
білдіреді)  тҥрдегі  жазбасы  осы  заңмен  жəне  кəдімгі  арифметикадағы 
қосуға қатысты көбейтудің ҥлестірімділік заңы арасындағы ҧқсастықты 
айқын көрсетеді. Бірақ логика алгебрасындағы арифметикадан өзгеше, 
7 
арақатынасы 
арқылы 
көрінетін 
конъюнкцияға 
қатысты 
дизъюнкцияның ҥлестірімділік заңы да орын алады. Екі ҥлестірімділік 
заңдар  да  логика  алгебрасы  формулалары  арқылы  жақшалардың 
ашылуының тҥрлендіруге жəне қарапайым алгебрада орындалатындай 
көбейткіштерді  шығаруға  (сонымен  қатар,  жалпы  қосылыстарды 
шығаруға) мҥмкіндік береді. 
8  жəне  9  арақатынастар  Морган  заңдары  деп  аталады  жəне  1-
арақатынаспен  бірге  теріс  белгілері  қарапайым  пікірге  ғана  жататын 
тҥрге логикалық көріністі тҥрлендіру мҥмкіндігін береді. 
1-13  арақатынастардан  өзге,  келесі  тең  арақатынастар  логикалық 
өрнектерді тҥрлендіру ҥшін өте пайдалы:  
14)  A 
V 
A ^В = A 
V 
В; 
15)  A 
^
(A 
V 
B) 
= 
A 
V 
B; 
16)  A 
V 
A 
^
B 
= 
A; 
17)  A 
^
B 
V 
A 
^
С
= 
A 
^
B 
V 
A 
^
C 
^
B 
^
C; 
18)  A 
^
(A 
V 
B) 
= 
A; 
19)  (A 
V 
B) 
^
(A 
V 
C) 
= 
(A 
V 
B) 
^
(A 
V 
C) 
^
(B 
V 
C); 
20)  A 
V 
A 
^
В 
= 
A 
V 
В; 
21)  A 
V 
(A 
V 
B) 
= 
A
V 
B; 
22)  A 
∩
B 
= 
A 
V 
B; 
23)  A 
= 
B 
= 
A 
^
B 
V 
A 
^
B. 
Соңғы  екі  арақатынасы  пайдалану  тек  қана  «
V
»,  «
^
»,  «
—
» 
белгілерінен  тҧратын  «
∩
»  жəне  «
≡
»  белгілерінен  тҧратын  өрнектерге 
кез-келген өрнекті келтіруге мҥмкіндік береді. 
Егер А, В, С, ... ауыспалылары ретінде  пікірді ғана емес,ол ҥшін 1-
13  арақатынастарды  қанағаттандыратын  қосу,  көбейту  жəне  терістеу 
əрекеттері  анықталғанпікірді  ғана  емес,  кез-келген  жҥйе  элементтерін 
тҥсінетін  боламыз,  онда  Буль  алгебрасы  деп  аталатын  абстрактылы 
алгебраны аламыз.