Ван-дер-Ваальс теңдеуі және оны талдау

Нақты газдардың өзгерісін сипаттауға ұсынылған көптеген теңдеулердің ішінде Ван-дер-Ваальс теңдеуі ең қарапайым және сонымен қатар жеткілікті дәрежеде жақсы нәтиже беретін теңдеу болып табылады. Бұл теңдеу теңдеуіне белгілі түзетулер енгізу арқылы шығарылып, мына түрде беріледі:

мұндағы газға сырттан түсірілген қысым (ол газдың ыдыс қабырғаларына түсіретін қысымына тең), және әр газ үшін әр түрлі мәндерге ие болатын, тәжірибелер арқылы анықталатын Ван-дер-Ваальс тұрақтылары. Егер қысым бір квадрат метрге қатысты ньютондар арқылы, ал көлем бір мольге қатысты алынған текше метрлер арқылы өрнектелсе, онда константа ның өлшем бірлігі ал константа нікі болады.

Нақты газдарды қарастырғанда, біріншіден, молекулалар арасындағы тебу күшін немесе басқаша айтқанда молекулалардың өз көлемін ескеру қажет. Бұл жағдай газ молекулалары орналасқан бос көлемнің белгілі бір шамасына кіші болатынына әкеледі. Бұл константа мынадай себептерге байланысты молекулалардың төрт есе арттырылған көлеміне тең болады: Ыдыста тек екі-ақ молекула болсын делік. Осы молекулалардың кез келген біреуінің центрі екіншісінің центріне молекула диаметрінен аз қашықтыққа жақындай алмайды (5.1-сурет). Сөйтіп, екі молекула радиусы ға тең сфералық қөлемді иемденеді екен, яғни молекуланың сегіз көлеміне тең көлемнің пайдасы жоқ екен (бос болмайды екен). Екіншіден, газ молекулаларының өзара тартылыс күшін ескеру қажет. Бұл күш газ молекулаларының ыдыс қабырғасына түсіретін қысымының шамасына азаюына әкеп соғады. Оның мәнін анықтау қиынғы соқпайды. Газдың беттік қабатына орналасқан молекулаларды (олардың саны газ көлеміне кері пропорционал) газ ішіндегі оларға ең жақын орналасқан молекулалар өзіне тартады (олардың да саны газ көлеміне кері пропорционал). Сондықтан қа тура пропорционал немесе көлемнің квадратына кері пропорционал, яғни

(5.2)

мұндағы газ табиғатына байланысты болатын тұрақты шама.

Міне, осы қарастырылған екі қосымша түзеткішті ескеріп, Клапейрон теңдеуінің орнына нақты газ күйінің теңдеуін, яғни Ван-дер-Ваальс теңдеуін (5.1) алуға болады, оны қысымға қатысты ашып жазсақ

(5.3)

мен белгілі аз шамаларында бұл қысым идеал газ қысымынан аз болады:

(5.3) теңдеуінен нақты газ қысымының -ге айналу мүмкіндігі байқалады. Бұл жеткілікті суытқанда және сыққанда газ сұйыққа, сонан соң қатайып белгілі бір көлемге ие бола алады деген сөз. Ван-дер-Ваальс теңдеуінен туынайтын мұндай маңызды салдар тәжірибе жүзінде толық дәлелденген, барлық белгілі газ тектес заттар сұйыққа, сонан соң әрі қарай суыту арқылы белгілі қысымдарда қатты денеге (күйге) айнала алады. Ван-дер-Ваальс теңдеуі сұйытылған заттардың күйін едәуір жақсы сипаттайды, ал қатаю процестеріне қолдануға жарамайды.

(5.3) түрінде қысымға қатысты жазылған Ван-дер-Ваальс теңдеуі оның физикалық мағынасын жақсы ашып тұр. Бірақ математикалық анализ үшін бұл теңдеуді (5.1) түрінде жазған ыңғайлы болады.

Бұл теңдеу (5.1) газдың бір молі үшін жазылған. Кез келген моль үшін бұл теңдеуді былай жазуға болады

немесе бұл теңдеуді ке көбейтіп, мынаны аламыз:

Нақты газдардың барлығының қасиеті тығыздық азайған сайын идеал газ қасиетіне жақындайтын фактісіне сәйкес Ван-дер-Ваальс теңдеуі көлемнің үлкен мәндерге ұмтылуымен сәйкес өзгеріп, ақыр аяғында идеал газ күйінің теңдеуіне айналады. Бұған көз жеткізу үшін (5.4) теңдеуіндегі мен ны жақшаның сыртына шығарамыз:

мұндағы көбейтіндісі шамамен тұрақты болып қалатынын ескеру қажет.