Бинарлы қатынастарға қолданылатын операциялар.
Бинарлы қатынастар PM1хM2 (PM2, M1=M2=M) жиын болғандықтан оларға жиынға қолданылатын барлық амалдар орындалады. Олар:
1. Бірігу Р1Р2; Р1Р2={(a,b) | (a,b) P1 немесе (a,b) P2}
2. Қиылысу P1P2; P1P2={(a,b) | (a,b) P1 және (a,b) P2}
3. Айырым P1\P2; P1\P2={(a,b) | (a,b) P1 және (a,b) P2}
4. Толықтауыш ; =U\P, мұндағы U=M1M2 (U=M2)
5. Кері қатынас P-1; P-1 = {(a, b) | (b, a) P}.
P-1⇌{(y,x) | (x,y)P} жиыны Р қатынасына кері қатынас деп аталады. Мысалы, Р-жас болу болса, P-1 үлкен болу, Р-баласы болу болса, P-1 әкесі болу. P (x)={y | (x,y)P қандай да бір х үшін} Х жиынының Р -ға қатысты образы (бейнесі) деп, ал P-1(x) – Х жиынының Р-ға қатысты прообразы деп аталады. Мысалы, A={2,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін.
P={(x,y) | x,yA,y x-ке бөлінеді және x≤3} бинарлы қатынасына кері қатынас P-1={(2,2), (4,2),(6,2), (8,2),(3,3),(6,3)}; X-ң Р-ға қатысты образы P(x)={3,6}; X-ң Р-ға қатысты прообразы немесе P-1 ( x )= {3}.6 Бинарлы қатынастың көбейтіндісі немесе Р1 мен Р2 композициясы Р1Р2.
Айталық А,В,С жиындары және Р1 ,Р2 қатынастары берілсін. Р1 АхВ және Р2 ВхС бинарлы қатынастарының көбейтіндісі немесе Р1 мен Р2 композициясы бар болады яғни (a,b) Р1○Р2 егер (a,z)P1 және (z,b)P2 болатындай zB элемент табылса; Р1○Р2={(a,b) | aA, bC және (a,z)P1 .
.Дербес жағдайда, егер Р қатынасы М жиынында анықталған болса PM2, онда
Р○Р={(a,b) | (a,c),(c,b)P}
Мысалы Р-баласы болу болса, онда Р○Р-немересі болу.
Бинарлы қатынастардың қасиеттері
1. А жиынында берілген бинарлы қатынас болсын: РА2.Кез-келген хА үшін х Р х қатынасы бар болса, Р қатынасы рефлексивті деп аталады. (бір жиын ішіндегі жұптар қатынасы мы салы бір қалада тұру - рефлексивті).
2. Егер х Р х қатынасы А жиынның бір де бір элементі үшін орындалмаса Р қатынасы антиреф лексивті (баласы болу қатынасы - антирефлексивті). Антирефлексивті матрицаның бас диагоналы тек нөлдерден тұрады.
3. Егер кез-келген х,уА үшін (х,у)Р(у,х)Р болса, яғни Р-1 =P немесе[P]T=[P] болса, Р қатынасы симметриялы деп аталады. Егер x A y болудан у А х болса (бір фирмада жұмыс жасайды), онда А симметриялы.
4. Егер (х,у )Р және (у,х)Р болғандығынан х=y болса, яғни PP-1 IdA, онда Р қатынасы антисимметриялы деп аталады,яғни х Р у және у Р х қатынастары әртүрлі х пен у-тың ешқан дай жұбында бір уақытта орындалмаса (баласы болу, бастық болу - антисимметриялы), онда бұл қатынас антисимметриялы.
5. Егер (x,y)P және (y,z)P болғандығынан (x,z)P болса, (яғни РРР) онда Р – транзитивті қатынас деп аталады,яғни х Р у және у Р z болудан x P z болса (жасырақ болу, інісі болу) Р-транзитивті болады.
Ескерту: 1. Антисимметрия мен симметрия емес ұғымдары бірдей емес. Мысалы A={1,2,3} жиынындағы Р={(1,2),(2,3)(3,2)} қатынасы симметриялы емес ((1,2)Р, ал (2,1)Р) антисимметриялы да емес, себебі (2,3)Р, (3,2)Р бірақ 23
2. IdA – қатынасы бір уақытта симметриялы да, антисимметриялы да болады.
Бинарлы қатынастар матрицалдарының негізгі қасиеттері.
Егер P,QAхB, [P]=(pij), [Q]=(qij) болса, oнда [PQ]=(pij+ qij) және [PQ]=(pij* qij)
мұндағы қосу [PQ]=[P]+[Q], 0+0⇌0, 1+1⇌1+0⇌0+1⇌1 ережесімен, ал [PQ] көбейту [P] мен [Q] сәйкес элементтерін тура көбейтуден алынады: [PQ]=[P]*[Q]
Мысалы, , P,Q қатынастарының матрицасы болса, онда ;
Егер PAхB, Q=B х C, онда [PQ]=[P][Q]; Мұнда [P] және [Q] матрицаларын көбейту матрицаларды көбейтудің әдеттегі ережесімен, ал [P] мен [Q] алынған элементтердің көбейтіндісі мен қосындысы 1 пунктегі ережелермен жүргізіледі. Мысалы,
; P-1 кері қатынастың матрицасы Р қатынасының транспонирленген матрицасы:[P]-1=[P]T
PQ; [P]=(pij), [Q]=(qij) болса, онда pij≤qij
Достарыңызбен бөлісу: |