Бинарлы қатынастарға қолданылатын операциялар

Бинарлы қатынастар PM₁хM₂ (PM², M₁=M₂=M) жиын болғандықтан оларға жиынға қолданылатын барлық амалдар орындалады. Олар:

1. Бірігу Р₁Р₂; Р₁Р₂={(a,b) | (a,b)  P₁ немесе (a,b)  P₂}

2. Қиылысу P₁P₂; P₁P₂={(a,b) | (a,b)  P₁ және (a,b)  P₂}

5. Кері қатынас P^-1; P^-1 = {(a, b) | (b, a)  P}.

P^-1⇌{(y,x) | (x,y)P} жиыны Р қатынасына кері қатынас деп аталады. Мысалы, Р-жас болу болса, P^-1 үлкен болу, Р-баласы болу болса, P^-1 әкесі болу. P (x)={y | (x,y)P қандай да бір х үшін} Х жиынының Р -ға қатысты образы (бейнесі) деп, ал P^-1(x) – Х жиынының Р-ға қатысты прообразы деп аталады. Мысалы, A={2,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін.

P={(x,y) | x,yA,y x-ке бөлінеді және x≤3} бинарлы қатынасына кері қатынас P^-1={(2,2), (4,2),(6,2), (8,2),(3,3),(6,3)}; X-ң Р-ға қатысты образы P(x)={3,6}; X-ң Р-ға қатысты прообразы немесе P^-1 ( x )= {3}.6 Бинарлы қатынастың көбейтіндісі немесе Р₁ мен Р₂ композициясы Р₁Р₂.

Айталық А,В,С жиындары және Р₁ ,Р₂ қатынастары берілсін. Р₁  АхВ және Р₂  ВхС бинарлы қатынастарының көбейтіндісі немесе Р₁ мен Р₂ композициясы бар болады яғни (a,b)  Р₁○Р₂ егер (a,z)P₁ және (z,b)P₂ болатындай zB элемент табылса; Р₁○Р₂={(a,b) | aA, bC және (a,z)P₁ .

_.Дербес жағдайда, егер Р қатынасы М жиынында анықталған болса PM², онда

Р○Р={(a,b) | (a,c),(c,b)P}

Мысалы Р-баласы болу болса, онда Р○Р-немересі болу.

Бинарлы қатынастардың қасиеттері

1. А жиынында берілген бинарлы қатынас болсын: РА².Кез-келген хА үшін х Р х қатынасы бар болса, Р қатынасы рефлексивті деп аталады. (бір жиын ішіндегі жұптар қатынасы мы салы бір қалада тұру - рефлексивті).

2. Егер х Р х қатынасы А жиынның бір де бір элементі үшін орындалмаса Р қатынасы антиреф лексивті (баласы болу қатынасы - антирефлексивті). Антирефлексивті матрицаның бас диагоналы тек нөлдерден тұрады.

3. Егер кез-келген х,уА үшін (х,у)Р(у,х)Р болса, яғни Р^-1 =P немесе[P]^T=[P] болса, Р қатынасы симметриялы деп аталады. Егер x A y болудан у А х болса (бір фирмада жұмыс жасайды), онда А симметриялы.

4. Егер (х,у )Р және (у,х)Р болғандығынан х=y болса, яғни PP^-1  Id_A, онда Р қатынасы антисимметриялы деп аталады,яғни х Р у және у Р х қатынастары әртүрлі х пен у-тың ешқан дай жұбында бір уақытта орындалмаса (баласы болу, бастық болу - антисимметриялы), онда бұл қатынас антисимметриялы.

5. Егер (x,y)P және (y,z)P болғандығынан (x,z)P болса, (яғни РРР) онда Р – транзитивті қатынас деп аталады,яғни х Р у және у Р z болудан x P z болса (жасырақ болу, інісі болу) Р-транзитивті болады.

Ескерту: 1. Антисимметрия мен симметрия емес ұғымдары бірдей емес. Мысалы A={1,2,3} жиынындағы Р={(1,2),(2,3)(3,2)} қатынасы симметриялы емес ((1,2)Р, ал (2,1)Р) антисимметриялы да емес, себебі (2,3)Р, (3,2)Р бірақ 23

2. Id_A – қатынасы бір уақытта симметриялы да, антисимметриялы да болады.

Бинарлы қатынастар матрицалдарының негізгі қасиеттері.

Егер P,QAхB, [P]=(p_ij), [Q]=(q_ij) болса, oнда [PQ]=(p_ij+ q_ij) және [PQ]=(p_ij* q_ij)

Егер PAхB, Q=B х C, онда [PQ]=[P][Q]; Мұнда [P] және [Q] матрицаларын көбейту матрицаларды көбейтудің әдеттегі ережесімен, ал [P] мен [Q] алынған элементтердің көбейтіндісі мен қосындысы 1 пунктегі ережелермен жүргізіледі. Мысалы,

PQ; [P]=(p_ij), [Q]=(q_ij) болса, онда p_ij≤q_ij