Спектрі дискретті оператордың меншікті функцияларының қасиеттері.
1-қасиет. Эрмитті оператордың әр түрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар бір-біріне ортогональды болады.. Яғни мынадай теңдік орындалады:
мұндағы т≠n
Енді осы (3.23) теңдігінің орылдалуылың дәлеліл келтірелік. Ол үшін алдымен қандай да бір Ғ операторының мешікті мәндері және оларға сәйкес келетін меншікті функцияларының жиыны қарастырылады. Меншікті мәлдер спектрі дискретті, әрі айнымаған болады. Онда олардың әр түрлі Ғп ≠ Ғт екі мәндеріне, әртүрлі екі ψn. және ψт меншікті функциялар сәйкес келеді де, ол функциялар мынадай теңдеулерді қанағаттандырады:
Е нді сол жағынан бірінші теңдеуді ψn ' ал екіншісінен ψт функцияларына кобейтіп, біріншісінен екіншісін мүшелеп алып тастай отырып, бүкіл кеңістік бойынша интегралдап келесі теңдікті алуға болады:
Бұдан әрі Ғ операторының эрмитті әкеліп ескере отырып, бұл өрнектің нолге тең екеніне оңай көз жеткізyгe болады. Шындығында,
Онда . Бастапқы үйғарым бойынша Ғп ≠ Ғт болғандықтан, соңғы теңдіктен екені шығады. Бұл-біз іздестіріп отырғал шарт.
Сонымен, эрмитті операторлардың, әртүрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар бір-бірін ортогональ екен. Олардың ортогональ болуылың фпзлкалық мағынасы мынада: егер Ғ шамасы әp түрлі меншікті мәндерге сәйкее келетін ψn және ψт күйлерінде өлшенсе, онда оларға сәйкес тек Ғп және Ғт мәндері ғана алынады. Ал ψn күйінде Ғт шамасын алудың немесе керісінше, ψпі күйінде Ғп шамасын алудың ықтиалдылықтары нолге тең. Кванттық механика өрнегін функцияның қабаттасу интегралдары деп атайды. Бір-біріне ортогональ емес күйлер үшін бұл интегралдың мәні нолден өзгеше болады.
2-қасиет. Меншікті мәндерінің спектрі дискритті болатын операторлардың меншікті функцияларының аргументі шексіздікке ұмтылғанда функцияның өзі нолге ұмтылады.Бұдан әрі толқындық (функция үшін нормалау және ортогональдық шарттарын біріктіре отырып, мына түрде ортонормалаушартын алады:
(2-3.25)
3-қасиет. Спектрі дискритті болатын оператордың меншікті функцияларының жиыны толық (тұйық) жүйе құрайды, яғни осы меншікті функциялар тәуелді айнымалыға тәуелді болатын және сол функциялар қанағаттандыратын шекаралық шартты қанағаттандыратын кез-келген ψ(£) функциясымен меншікті функциялар жиыны арқылы мына түрде жіктеуге болады.
(3.26)
Енді жіктеу коэффициентін анықталық. Ол үшін бұл өрнекті ψт(£)-ға көбейтіп, бүкіл кеңістік бойынша ннтегралдау қажет. Одан әрі бүл интегралда толқындық функцияның ортонормалану шартын пайдалана отырып, мынадай өрнекті алуға болады:
Яғни кез келген жіктеу коэффициенті мынадай өрнекпен анықталады екен:
4-қасиет. Спектрі дискретті болатын оператордың, меншікті функциялары мынадай толықтық шартын қанағаттандырады:
Бұл теңдікті дәлелдеу үшін Дирактың δ-функциясын (4-қосымшаны қараңыз) (3.26-ға сәйкес мынадай ортопормаланған жүйе бойынша жіктеліп:
Бұл жердегі а(£') жіктсеу коэффициенттері (3.27)-ға сәйкес мына өрнекпен анықталады:
Жіктеу коэффициентінің осы монін (4.2) өрнегіне алып барып қойса, онда іздестіріліп отырған толықтық шартынын, өрнегі алынады.
Бұған дейін айнымаған спектр жағдайы қарастырылады. Алайда алынған нәтижелерді айныған спектр жағдайына оңай жалпылауға болады. Мысалы, спектрі дискретті F операторының Ғп меншікті мәніне бірнеше ψ1, ψn2,,.,,..., ψn меншікті функциялары сәйкес келсін делік келсін делік. Жоғарыдағы келтірілген дәлелдерді кайталап отырып, m ≠ п болғанда,
екеніне оңай көз жегкізуге болады. Яғни меншікті функциялар айныған жағдайда әр түрлі меншікті мәндерге қатысты меншік функциялар бір-біріне ортогональ. Ал енді жалпы жағдайда. Бр меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті функцияларды да α≠β болған жағдайда. бір-біріне ортогональ Болатындай етіп таңдап алуға болады. Мұны екі еселі айну мысалының негізінде көрсетуге болады.
Оператордың Ғп меншікті маніне нормаланған бір біріне ортогональ емес екі ψn1 және ψn2 меншікті функциялары сәйкес келсін делік. Енді мынадай екі ψ1 = ψn1 және ψ2= С(ψn1 + λψn2) функцияларын анықталық. Суперпозиция принципіне сәйкес ψ2 функциясы да F операторының Fn меншікті мәніне тиесілі меншікті функциясы болады. Ал λ тұрақтысын ∫ ψ1 ψ2 dξ = 0 ортогональдық шарты орындалатымдай етіп таңдап алуға болады. Онда
екінші ондай табуға болады. Ал тұрақтысы нормалау шартынан анықталады. Сонымен бір ғана меншікті мәнге тиесілі нормаланған және бір-біріне ортогональ ψ1 және ψ2 меншікті функциялары табылды. Бұл әдісті кез келген еселі айну жағдайына жалпылау қиын емес. Алынған шарттарды біріктіре отырып, айныған спектр жағдайы үшін ортонормалау шартын мына түрде. жазуға болады:
Меншікті мәндердің, спектрі айныған оператордың меншікті функцияларының жүйесі де толық болады, яғни (3.26) тәрізді кез келген ψ(£) функцияның бұл меншікті функциялар арқылы былай жіктеуге болады:
Жіктеу коэффициенттері мына өрнекпен анықталады:
Ал толықтық шарты мына түрде жазылады:
Кез-келген функцияны эрмитті оператордың меншікті функцияларының толық жүйесі арқылы жіктеудің ап коэффициенттерінің белгілі физикалық мағынасы бар. Жоғарыда айтқанымыздай, егер жүйенің күйі Ғ операторының меншікті функциясы болып табылатын ψn толқындық функциясымен сипатталса онда осы күйде өлшенген Ғ шамасының мәні нақтылы Fn-ге тең, болады. Ал егер жүйенің, күйі меншікті функциялардың бірде-бірімен сәйкес келмейтін толқындық функциясымен сипатталатын болса, онда бұл күйде Ғ шамасы нақтылы мәнге ие бола алмайды, яғни әрбір жекелеген өңдеу кезінде бір-біріне сәйкес келмейтін, бірақ әйтеуір Fn меншікті мәндерінің біріне тең болатын әр түрлі нәтижелер аламыз. Өлшеуді көп рет қайталай отырып, төмендегі өрнекпен анықталған Ғ-орташа мәнін табуға болады.
Бұл өрнекке Ф(ξ) функциясын, F операторының, меншікті функциялары арқылы (3.26) жіктелу өрнегін қоя отырып, мынаны аламыз:
Бұдан әрі Ф(£) функциясының нормалық шартынан
екені шығады. Бұл өрнекті, сонымен қатар, толықтың қажетті шарты деп те атайды. Ал дәл осы (3.37) және (3.38) өрнектері |аn|2 шамасының физикалық мағынасын анықтайды. Оның мәнісі мынада: бұл коэффициентердің, квадраты Ғ шамасын Ф(£) күйінде өлшеудің, нәтижесінде Fn-ді алудың ықтималдылығын береді.
Достарыңызбен бөлісу: |
