Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі

Сызықты және эрмитті операторлар

жүктеу 1,14 Mb. бет 15/40 Дата 03.02.2023 өлшемі 1,14 Mb. #41132

Сызықты және эрмитті операторлар. Кванттық механиканың операторлары белгілі шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен, суперпозиция принципі орындалу үшін операторлардың сызықтық болуы шарт. Сызықтық операторлар деп мынадай: (3.6) Шартты қанағаттандыратын операторларды айтады. Мұндағы және , жалпы жағдайда, кез келген комплексті сан. Сонымен қатар, кванттық механиканың операторлары өзіне-өзі түйіндес немесе, басқа сөзбен айтқанда,эрмитті болуы тиіс. Эрмитті операторлар туралы айтпастан бұрын, алдымен берілген операторға эрмитті түйіндес операторларға тоқтала кетелік. Берілген операторына эрмитті түйіндес операторы деп мынадай шартты (3.7) қанағаттандыратын операторды айтады. Бұл өрнектің мәнісін түсіну үшін төмендегіше анықталған, траспонирленген операторын енгіземіз. (3.8) Мұндағы «~» ,белгісі толқындық функциялардың орындарының ауысқанын көрсетеді. Бұдан әрі (3.7) және (3.8) өрнектерінің сол жақтарын теңестіре отырып, алуға болады, немесе . Яғни берілген операторға эрмитті түйіндес оператор сол алғашұы операторды траспонирлеп, одан соң комплексті түйіндеу арқылы алынады екен. Әрине, жалпы жағдайда эрмитті түйіндес операторы бастапқы операторына тең болмайды. Бірақ, дербес жағдайда бұл екі оператор бір-біріне тең болуы, яғни мынадай теңдік орындалуы мүмкін; . (3.9) Міне, осы шартты қанағаттандыратын операторлар эрмитті операторлар деп аталады. Ал не себепті кванттық механиканың операторлардың эрмитті болуы талап етіледі? Бұл сұраққа жауап беру үшін алдымен мынадай шаманы есептелік. Бұл жерден көрініп тұрғандай, эрмитті операторларға сәйкес келетін физикалық шаманың орташа мәні әрқашанда заттық сан болады екен. Операторлардың эрмитті болуын талап етудің негізгі себебі осында. Яғни Бұл жерде біз бастапқы интегралдыг8ң мәнін бөліктен интегралдау әдісімен есептедік және толқындық функциялардың шексіздікте нөлге тең екенін ескердік.Алынған нәтижені (3.7) өрнегімен салыстыра отырып екенін көреміз.Өрнекті минус таңбасының салдарынан берілген оператор өзіне эрмитті түйіндес операторға тең емес.Яғни қарастырған операторымыз эрмитті оператор емес.Тура осы жолмен,керісінше, операторының эрмитті екенін де оңай дәлелдеп көрсетуге болады. Егер берілген оператор өзіне эрмитті түйіндес оператордан тек таңбасымен ғана өзгешеленетін болса,яғни болса,онда мұндай операторларды антиэрмитті операторлар деп атайды.Жоғардағы қарастырған операторы антиэрмитті операторлардің мысалы болып табылады. Енді екі, және эрмитті операторларының көбейтіндісі қандай жағдайда эрмитті оператор болатынын анықталық: . Біз бұл жерде өз кезегімен және операторларының эрмиттік екенін пайдаландық. Символды түрде теңдікті қысқаша былай жазуға болады: . Сонымен, бұл өрнектен көрініп тұрғандай, екі эрмитті операиордың көбейтіндісіне эрмитті түйіндес болатын оператор бастапқы операторлардың кері ретпен алған көбейтіндісіне тең екен. Әрине, жалпы жағдайда бұл көбуйтінді эрмитті емес. Эрмитті болу үшін олар міндетті түрде бір- бірімен коммутациялануы керек. Яғни бір- бірімен коммутацияланатын екі эрмитті операторлардың көбейтіндісі ғана эрмитті болады екен. Дегенмен, және операторларының бір- бірімен коммутациялануын талап етпей-ақ,олардың көмегімен әрқашан эрмитті болатын мынадай сызықтық комбинациялар құруға болады: , (3.10) Бұл жердегі және операторларының эрмитті екеніне көз жеткізу оңай. Жорамал бірлік үшін . Егер берілген операторға эрмитті түйіндес оператор бастапқы оператордың кері операторына тең, яғни теңдігі орындалады да, мұндай операторлар унитарлы операторлар деп аталады. жүктеу 1,14 Mb. Достарыңызбен бөлісу:

©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз