1 пєнініњ ОЌу программасы syllabus

- Дәріс. Жиындардың қуаты (2 сағат)

жүктеу 19,56 Mb.

бет	6/34
Дата	31.05.2018
өлшемі	19,56 Mb.
	#18555

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34

4- Дәріс. Қатынастар. Бинарлы қатынастар (2 сағ)

3- Дәріс. Жиындардың қуаты (2 сағат)

Дәріс конспектісі.

Берілген А және В ақырлы жиындарының қуаттарының теңдігін олардың элементтерін санау арқылы білуге болады. Мысалы, A={a, b, c, d, e, f}; B={α, β, γ, δ, ε, ζ}; |A| = |B| =6.

Жиындардың теңдігін білудің басқа да жолы бар:

A	a	b	c	d	e	f
B	α	β	γ	δ	ε	ζ

Егер а A үшін бір ғана bB сәйкес болса және керісінше әрбір bB үшін бір ғана aA сәйкес болса, онда А және В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік бар дейді.Мұндай жиындар эквивалентті немесе тең қуатты жиындар деп аталады. Айталық N натурал сандар жиыны болсын 1, 2, 3, 4, 5, …, M – олардың квадраттарының жиыны: 1, 4, 9, 16, 25, …Олай болса, N ~ M. Натурал сандар жиынына эквивалентті жиындар саналымды жиындар деп аталынады. Саналымды жиын туралы мынадай теорема бар:

1-Теорема. Қандай да бір жиын саналымды болу үшін, оның элементтерін шексіз тізбек түрінде кескіндеу қажетті және жеткілікті.

2-Теорема. Саналымды жиынның кез-келген ішкі жиыны саналымды жиын.

3-Теорема. Ақырлы немесе саналымды жиындардың бірігуі-саналымды жиын.

Салдар. Рационал сандар жиыны саналымды жиын. Шынында да барлық оң рационал сандарды шексіз кесте түрінде өрнектеуге болады:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, …

3/1, 3/2, 3/3, 3/4., 3/5, …

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, …

…………………………,

Бұл кестені сол жақ жоғарғы бұрыштан бастап диагональ бойымен айналуға болады. Бірақ барлық шексіз жиындар саналымды емес.

Кантор теоремасы. [0;1] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Теореманы кері жорып дәлелдейміз . Айталық бұл жиын саналымды болсын. Демек, бұл жиынның барлық элементтерін шексіз тізбек түрінде өрнектеуге болады.

Α₁ = 0,а₁₁а₁₂а₁₃а₁₄…

Α₂ = 0,а₂₁а₂₂а₂₃а₂₄…

Α3 = 0,а31а32а33а34…

………………………

Төмендегі тәртіппен В = b1b2b3b4… шексіз ондық бөлшек тізбегін b1 ≠ a11, b2 ≠ a22, b3 ≠ a33 және т.б. құрайық. Бұл бөлшек айтылған тізбекке енбейді, себебі тізбектің бірінші мүшесінен оның бірінші цифры өзгеше, екіншісінен екінші цифры өзгеше т.б. Ендеше [ 0;1] кесіндісінің барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Бұл жиынның қуаты континуум (С қуатты), ал С қуатты жиын континуальды жиын деп аталады.

Теорема. [a,b] кесіндісінің бардлық нақты сандар жиыны континуум қуатты.

Шынында да y=a+(b - a)x функциясы [ 0; 1] және [ a; b] кесіндісінің нүктелерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатады, демек [ a; b] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуаты [ 0; 1] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуатындай.

Теорема. Континуум қуатты ақырлы немесе саналымды жиындардың жиыны – континуум қуатты жиын болып табылады.

1 Салдар. Барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты.

2 Салдар. Барлық иррационал сандар жиынының қуаты С. I =R / Q

Негізгі әдебиет: 2[12-20]; 3[10-43]

Қосымша әдебиет: 7[9-34]

Бақылау сұрақтары:

Қандай жиын саналымды жиын деп аталады?
Қандай жиындар континуум қуатты?
Ақырлы жиынға, континуум қуатты жиындарға мысал келтіріңіз.
Жазықтықтағы нүктелер жиынының қуаты қандай?
Екінің дәрежесі болатын сандардан құралған жиынның қуаты қандай?

4- Дәріс. Қатынастар. Бинарлы қатынастар (2 сағ)

Дәріс конспектісі:

Қатынастар – жиын немесе жиындар элементтерінің арасындағы өзара байланыстарды беру тәсілдері. Қатынастардың ішінен унарлы, бинарлы қатынастар көбірек белгілі. Унарлы (бір орынды) қатынастар бір жиын элементтерінің белгілі бір R қасиетінің болуын бейнелейді. М жиынының R қасиетімен (белгісімен) ерекшеленетін элементтерінің жиыны М-ң бір ішкі жиынын құрайды.(Мысалы, қобдишадағы шарлардың бір бөлігінің ақ болуы) Оларды унарлы қатынас деп атайды, R мен белгіленеді, яғни aR, RM.

Бинарлы қатынастар.

Бинарлы қатынастар М жиынының бір жұп элементтерінің қандай да бір өзара қарым-қатынасын анықтауға қолданылады. Мысалы, М адамдар жиыны десек 2 адамның бір қалада тұруы, бір ұйымда қызмет істеуі, біреуінің екіншісінен жас болуы, әке мен бала болуы т. б.

Анықтама Екі орынды немесе бинарлы Р қатынасы деп А,В жиындарының декарт (тура) көбейтіндісінің (a,b) жұптарынан тұратын ішкі жиынын айтады және (a,b)P, P  A x B болып белгіле неді. А -Р қатынасының анықталу облысы, ал В мәндер облысы деп аталады.Айталық, P  A x B қатынасы мына суреттегідей кескінделсін:

Бинарлы қатынас бір жиынның ішінде болса, мысалы М-жиынында болса Р қатынасы (a,b)P, PMхM=M² немесе (a,b)P, а Р b болып белгіленеді. Жалпы жағдайда n орынды R қатынасы деп n жиынның тура (декарт) көбейтіндісінің R ішкі жиынын айтады:

R  M₁x M₂x…x M_n

Егер (a₁,a₂,…,a_n)R, ал (a₁M₁,…,a_nM_n) онда a₁,a₂,…,a_n элементтері R қатынасында делінеді. Егер n орынды R қатынасы М жиынында болса, яғни M₁=M₂=…=M_n, онда RM ⁿ.

Бинарлық қатынастардың берілу тәсілдері.

Бинарлық қатынастар жиын болғандықтан, жиынның берілу тәсілдерінің бәрімен беріле алады. Ақырлы жиындарда берілген қатынастар әдетте төмендегідей әдістермен беріледі:

1. Бинарлы қатынас орындалатын жұптардың тізімі арқылы. Мысалы, A={2,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін. P={(x,y) | x,yA, y x-ке бөлінеді және x≤3} бинарлы қатынасын P={ (2,2), (2,4), (2,6) ,(2,8 ) ,(3,3) ,(3,6) } түрінде жазуға болады.

2. Графиктік түрде: Графиктік кескіндеудің бірнеше түрлері бар:

2.1 Координат өсьтеріне қатынастың элементтерін белгі леу арқылы. Алдыңғы мысалды графикалық түрде суреттегідей кескіндеуге болады.

2.2 А мен В жиындарының элементтерінің арасындағы Р қатынасын стрелкалар арқылы көрсетуге болады.
Мысалы,A={a,b,c}; B={1,2,3} жиындары берілсін. Олардың элементтерінің арасындағы

P1={ (a,2),(b,1),(c,2)} қатынасын төмендегі 6- суретпен кескіндеуге болады.

2.3 Граф арқылы да кескіндеуге болады. Мысалы, P₂={(a,b),(b,b),(c,a)} қатынасының граф түріндегі бейнесі 6- суреттегідей болады.

3. Бинарлы қатынастың матрица арқылы берілуі.A={a₁,a₂,…,a_n} және B={b₁,…,b_n} ақырлы жиындары және PAхB бинарлы қатынас берілсен. Р бинарлы қатынастың [P]=(P_ij) mхn мөлшерлі матрицасын төмендегі ережемен анықтаймыз:

P_{i j}=

Алынған бұл матрица элементтер арасындағы байланыс туралы толық ақпарат береді және оны компьютерге өрнектеу мүмкіндігі бар. Мысалы, Суретте көрсетілгендей PA² A={1,2,3} бинарлы қатынасының матрицасы

[P]=

; P={(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,1)}

2-мысал M={1,2,3,4,5,6}. Егер Р  қатаң кіші болуды білдір се РМ х М қатынасын тізім және матрица түрінде бейнелеу керек: Р қатынасы М жиынының a b болатын элементтер жұбынан тұрады. Р=

. Олай болса, Р қатынасын тізім және матрицамен беруге болады: Р={ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6)} ;

Анықтама. Кез-келген жиын үшін анықталған Id_A={(x,x) | xA} қатынасы тепе-теңдік қатынас немесе диагональ қатынас деп аталады, ал U_A⇌A² универсалды немесе толық қатынас деп аталады. Айталық, Р – бинарлы қатынас болсын.  _P⇌{x | (x,y)P қандай да бір Y үшін} жиыны Р қатынасының анықталу облысы деп, ал _Р⇌{y | (x,y)P қандай да бір Х үшін} жиыны Р қатынасының мәндер жиыны деп аталады. Мысалы, A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} жиынының P = {(x, y) | x, y  A, у x ке бөлінеді және х ≤3} қатынасы үшін P={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6)) қатынасы мен х={3} үшін анықталу облысы _Р={2,3}. Мәндер аймағы _Р={2,3,4,6,8};

Бинарлы қатынастарға қолданылатын операциялар.

Бинарлы қатынастар PM₁хM₂(PM², M₁=M₂=M) жиын болғандықтан оларға жиынға қолданылатын барлық амалдар орындалады. Олар:

1. Бірігу Р₁Р₂; Р₁Р₂={(a,b) | (a,b)  P₁ немесе (a,b)  P₂}

2. Қиылысу P₁P₂; P₁P₂={(a,b) | (a,b)  P₁ және (a,b)  P₂}

3. Айырым P₁\P₂; P₁\P₂={(a,b) | (a,b)  P₁ және (a,b)  P₂}

4. Толықтауыш

;

= U \ P, мұндағы U = M₁M₂ (U = M²)

5. Кері қатынас P^-1; P^-1 = {(a, b) | (b, a)  P}.

P^-1⇌{(y,x) | (x,y)P} жиыны Р қатынасына кері қатынас деп аталады .Мысалы, Р-жас болу болса, P^-1үлкен болу , Р-баласы болу болса, P^-1әкесі болу. P (x)={y | (x,y)P қандай да бір х үшін} Х жиынының Р -ға қатысты образы (бейнесі) деп, ал P^-1(x) – Х жиынының Р-ға қатысты прообразы деп аталады.Мысалы, A={2,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін.

P={(x,y) | x,yA,y x-ке бөлінеді және x≤3} бинарлы қатынасына кері қатынас P^-1={(2,2), (4,2),(6,2), (8,2),(3,3),(6,3)}; X-ң Р-ға қатысты образы P(x)={3,6}; X-ң Р-ға қатысты прообразы немесе P^-1( x )= {3}.6 Бинарлы қатынастың көбейтіндісі немесе Р₁ мен Р₂ композициясы Р₁Р₂

Айталық А,В,С жиындары және Р₁ ,Р₂ қатынастары берілсін. Р₁ АхВ және Р₂ ВхС бинарлы қатынастарының көбейтіндісі немесе Р₁ мен Р₂ композициясы бар болады яғни (a,b)  Р₁○Р₂ егер (a,z)P₁және (z,b)P₂ болатындай zB элемент табылса; Р₁○Р₂={(a,b) | aA, bC және (a,z)P₁.

_.Дербес жағдайда, егер Р қатынасы М жиынында анықталған болса PM², онда

Р○Р={(a,b) | (a,c),(c,b)P}

Мысалы Р-баласы болу болса, онда Р○Р-немересі болу.

Бинарлы қатынастардың қасиеттері

1. А жиынында берілген бинарлы қатынас болсын: РА².Кез-келген хА үшін х Р х қатынасы бар болса, Р қатынасы рефлексивті деп аталады. (бір жиын ішіндегі жұптар қатынасы мы салы бір қалада тұру - рефлексивті).

2. Егер х Р х қатынасы А жиынның бір де бір элементі үшін орындалмаса Р қатынасы антиреф лексивті (баласы болу қатынасы - антирефлексивті). Антирефлексивті матрицаның бас диагоналы тек нөлдерден тұрады.

3. Егер кез-келген х,уА үшін (х,у)Р(у,х)Р болса, яғни Р^-1= P немесе[P]^T=[P] болса, Р қатынасы симметриялы деп аталады. Егер x A y болудан у А х болса (бір фирмада жұмыс жасайды), онда А симметриялы.

4. Егер ( х,у )  Р және (у,х)  Р болғандығынан х=y болса, яғни P  P^-1 Id_A, онда Р қатынасы антисимметриялы деп аталады,яғни х Р у және у Р х қатынастары әртүрлі х пен у-тың ешқан дай жұбында бір уақытта орындалмаса (баласы болу, бастық болу - антисимметриялы), онда бұл қатынас антисимметриялы.

5. Егер (x,y)P және (y,z)P болғандығынан (x,z)P болса, (яғни РРР) онда Р – транзитивті қатынас деп аталады,яғни х Р у және у Р z болудан x P z болса (жасырақ болу, інісі болу) Р-транзитивті болады.

Ескерту: 1. Антисимметрия мен симметрия емес ұғымдары бірдей емес. Мысалы A={1,2,3} жиынындағы Р={(1,2),(2,3)(3,2)} қатынасы симметриялы емес ( (1,2)  Р, ал (2,1)  Р) антисимметриялы да емес, себебі (2,3)Р, (3,2)Р бірақ 23

2. Id_A – қатынасы бір уақытта симметриялы да, антисимметриялы да болады.

Бинарлы қатынастар матрицалдарының негізгі қасиеттері.

Егер P, Q  AхB, [P] =(p_ij), [Q]=(q_ij) болса, oнда [PQ]=( p_ij+q_ij) және [PQ]=( p_ij*q_ij)

мұндағы қосу [PQ]=[P]+[Q], 0+0⇌0, 1+1⇌1+0⇌0+1⇌1 ережесімен, ал [PQ] көбейту [P] мен [Q] сәйкес элементтерін тура көбейтуден алынады: [PQ]=[P]*[Q]

Мысалы, [P]=

, [Q]=

P,Q қатынастарының матрицасы болса, онда [PQ]=[P][Q]=

; [PQ]=[P]*[Q]=

Егер PAхB, Q=B х C, онда [PQ]=[P][Q]; Мұнда [P] және [Q] матрицаларын көбейту матрицаларды көбейтудің әдеттегі ережесімен, ал [P] мен [Q] алынған элементтердің көбейтіндісі мен қосындысы 1 пунктегі ережелермен жүргізіледі. Мысалы,

;

; онда [PхQ]=

;

P^-1 кері қатынастың матрицасы Р қатынасының транспонирленген матрицасы:[P]^-1=[P]^T
PQ; [P]=(p_ij), [Q]=(q_ij) болса, онда p_ij≤q_ij

Тепе-теңдік Id_A қатынастың матрицасы бірлік матрица:

Id_A]=

Эквивалентті қатынастар

Анықтама Рефлексивті, симметриялы және транзитивті Р бинарлы қатынасы эквивалентті қатынас немесе жай ғана эквивалентті деп аталады. Эквиваленттілік Е символымен немесе ~ белгісімен белгіленеді. х Е у немесе х~у Мысалы х=у болу қатынасы кез-келген А жиынында эквивалентті қатынас. x=x – болғандықтан рефлексифті. x=yy=xсимметриялы.x=y, y=zx=z – транзитивті.

Адамдар жиынында бір қалада тұру эквиваленттік.
7 бөлгендегі бірдей қалдық болу қатынасы эквиваленттік.

R={(a,b) | a,bN, a/7, b/7 қалдық бірдей}R – жиындағы эквиваленттік.

Бұл қатынас (11,46 ), (14,170) жұптарына орындалады.ҚазҰТУ студенттер жиынынан бір топқа жату эквиваленттілік – эквивалентті қатынас.Айталық, М жиынында R эквиваленттілігі берілсін (R эквивалентті қатынас берілсін). Белгілі бір тәртіппен М-ң ішкі жиындарын құрайық. Ішкі жиындарды класс деп атайық.С₁ – класы а₁М және оған эквивалентті элементтен құралсын; С₂ – класы а₂М және оған эквивалентті элементтерден құралсын т.с.с. осылай жалғаса берсін.С₁, С₂,...,С_і кластар жүйесі құралады. М жиынының кез-келген элементтері ең болмағанда бір класқа кіреді, яғни

Бұл кластар жүйесінің мынадай қасиеттері бар:Олар бөлімдер құрайды, яғни кластар өзара қиылыспайды; Бір кластағы кез-келген 2 элемент эквивалентті;Әр кластан алынған кез-келген 2 элемент эквивалентті емес.Бұл қасиеттер R қатынасының рефлексивтілік, симметриялық және транзитивтік қасиеттерінен шығады.М жиынынан осылай бөлшектеу, яғни кластар жүйесі R қатысты эквивалентті кластар жүйесі деп аталады. Бұл жүйенің қуаты бөлу индексі деп аталады.

Реттің қатынасы

Егер қатынас рефлексивті ,антисимметриялы және транзитивті болса, қатаң емес ретті қатынас деп аталады.Егер қатынас антирефлексивті, антисимметриялы және транзитивті, қатаң ретті қатынас деп аталады. Қатынастардың бұл екі түрі реттің қатынастары деп аталады.Мысал  ,  қатынастары қатаң емес,  ,  қатынастары қатаң. Бұл екі қатынастар N, R жиындарын реттейді.

Негізгі әдебиет: 1[15-18]; 2[31-37]

Қосымша әдебиет: 7[9-34]

Бақылау сұрақтары:

1. Жиындағы қатынас дегеніміз не?

2. Бинарлы қатынасқа мысал келтіріп оның матрицасын құрыңыз.

3. Қандай бинарлы қатынас рефлексивті,симметриялы,транзитивті?

4. Қандай қатынастар эквиваленттілік,реттік деп аталады?

5. Бинарлы қатынасқа қолданылатын амалдар қандай? Рефлексивті,транзитивті тұйықтық дегендер не?

жүктеу 19,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34