1 пєнініњ ОЌу программасы syllabus

жүктеу 19,56 Mb.

бет	4/34
Дата	31.05.2018
өлшемі	19,56 Mb.
	#18555

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34

1.3 Жабу және бөліктеу
Жиындардың Декарт көбейтіндісі

Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттері

Айталық U универсумы берілсін. Олай болса  А,В,С  U төмендегідей қасиеттер орындалады:

, операцияларының ассоциативтігі

A(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

2.,операцияларының коммутативтігі

AB=BA;

AB=BA

3. Дистрибутивті заң (үлестіру заңы)

A(BC)=(AB)(AC)

A(BC)=(AB)(AC)

4. Идемпотенттік заң

AA=A; AA=A

5. Жұтылу заңы

A(AB)=A; A(AB)=A

6. Де Морган заңы

7. Нөл мен бір заңы, айталық 0⇆, 1⇆U онда

А=A; A=;

A1=1; A1=A;

A

=1; A

=

8. Қос терістеу заңы (инволютивность)

9. Толықтыру заңы.

;



Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттерінің дұрыстығына бірнеше тәсілдермен көз жеткізуге болады:

Нақтылы жиындар мен амалдарды орындау арқылы (екі жағынан бірдей нәтиже шығады) ;

Венн диаграммасын сызу арқылы;

Амалдардың анықтамасын пайдалану арқылы.

 операциясының ассоциативтігін дәлелдейік:

Дәлелдеуі: Ассоциативті заңды дәлелдеу A (BC) = (AB)C (Теру заңы) ;

болсын.

1-тәсіл. Амалдарды орындайық.

;Сол жағы :

Оң жағы:

Демек жиындар тең.

2-тәсіл. Диаграммасын салайық:

Диаграммаларының бірдейлігінен жиындар тең деген қорытындыға келеміз.

3-тәсіл. а)

; Бұдан

Енді екінші жағынан,

б)

демек,

; Яғни, A(BC)=(AB)C

1.3 Жабу және бөліктеу

Айталық, {A_i| iI} А жиынының бос емес ішкі жиындары болсын. A_i A

Анықтама Егер A =

болса, яғни А жиынының әр элементі А_і жиындарының ең болмаса біреуіне кірсе, онда бос емес {A_i| iI} жиыны А жиынының жабуы деп, ал егер ij болғанда A_iA_j=  болса, жабу бөліктеу деп аталады ( I , jI ij = A_iA_j= ). Басқа сөзбен айтқанда А жиынының бос емес {A_i| iI} ішкі жиындары қиылыспаса яғни А-ның әр элементі бос емес А_і жиындарының тек біреуіне ғана кіретін болса, онда {A_i| iI} жиыны А жиынының бөліктеуі деп аталады. Мысалы, А={1,2,3} болса, онда {{1,2},{2,3},{3,1}} – А жиынын жабады, ал {{1},{2},{3}} – А жиынының бөліктеуі болады.

Жиындардың Декарт көбейтіндісі

х₁...х_n n элементтен тұратын реттелген тізбекті (x₁,x₂,…,x_n) немесе 1,x₂,…,x_n> деп белгілеуге болады.Мұндағы дөңгелек, бұрышты жақшалар элементтердің жазылу ретін көрсету үшін ғана қолданылады. Мұндай нөмірлерінің ретіне қарай орналасқан тізбек ұзындығы реттелген тізбек немесе ұзындығы n болатын кортеж деп аталады.

-элемент 1,x₂,…,x_n> кортежінің і- координатасы деп аталады.

Мысалдар

{a,b,c} және {1,2} жиындарынан ұзындығы 2-ге тең 6 кортеж құруға болады:

(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)

2. Кез-келген әріптерден құралған сөз кортеж, натурал сандардың ондық жүйедегі жазылуы цифрлардан тұратын кортеж т. б.

Кез-келген координаттары әртүрлі реттелген ақырлы жиын кортеж.Ұзындығы 2-ге тең кортеждер реттелген жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждер реттелген үштіктер, ұзындығы n-ге реттелген n-діктер деп аталады. Жиындар екі элементпен алу амалының көмегімен төмендегі ережеге сәйкес кодталады.

< > ⇋, 1> ⇋x₁, 1, x₂> ⇌ {{x₁},{x₁,x₂}}, 1,…,x_n> ⇌ < 1,x₂,…,x_n> , x_n+1>

Анықтама Екі кортеж ұзындықтары бірдей, әрі бірдей нөмірлі координаттары тең болса ғана тең болады. Яғни x=(x₁,x₂,…,x_n) , y=(y₁,y₂,…,y_n) кортеждері x₁=y₁; x₂=y₂,…x_n=y_n болғанда ғана тең болады ( x=y ). Мысалы (1², 2², 3²) және (

) кортеждері тең. (1,2,3) және (3,1,2) әртүрлі ; (1,2,3) және (1,2,3,4) әртүрлі; (1,2)(2,1) ал {1,2} және {2,1} жиындары тең. Кортеждердің координаттары жиын, кортеж т. б. болуы мүмкін. Мысалы, ({a,b},c) = ({b,a},c) себебі {a,b}={b,a}, ал ( (a,b ), c ) және ( (b,a), c ) кортеждері тең емес, себебі (a,b)(b,a). Бір де бір координаты жоқ кортеж (ұзындығы 0) бос кортеж деп аталады.

Сонымен жиын мен кортеж ұғымдарының айырмашылығы:

а) жиындардың элементтерінің орны, реті бәрі бір, ал кортеждерде элементтерінің ұзындығы бірдей болып элементтерінің реті басқаша болса тең емес (құрамы бірдей болса да);

б) жиында элементтер әртүрлі, кортежде бірдей бола береді.

Анықтама. А және В жиындарының тура( декарт) көбейтіндісі деп элементтері реттелген (х ,у) жұбынан тұратын жиынды айтамыз.Мұндағы, хА, ал уВ. Декарт көбейтіндісі әр түрлі жиын элементтерінен құралады, А  В болып белгіленеді: А  В = {(х ,у) | хА және уВ}.

жиындары үшін Декарт көбейтіндісі?

болады.

Егер A₁=A₂=…=A_n=A болса, онда A₁хA₂х,…,хA_n жиыны А жиынының n-ші Декарт дәрежесі деп аталады және Аⁿ болып белгіленеді. Анықтама бойынша A⁰⇌{}

Мысалдар:

1.A={1,2}, B={3,4} берілсін. AхB={ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) }; BхA={ (3,1),(3,2),(4,1),(4,2) };

AхA={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }; Бұл мысалдардан AхBBхA.

2. (Шахмат тақтасы).

A={a,b,c,d,e,f,g,h}; B={1,2,3,4,5,6,7,8} жиындары берілсін. Олай болса әр (х,у) жұбына x,yAхB шахмат тақтасының торлар жиыны сәйкес келеді.

3. [0,1]² жиыны { (a,b) | 0  a 1, 0  b  1 } ;Бұл жиынға жазықтықтың 1-ден аспайтын теріс емес координаттары бар нүктелер жиыны сәйкес келеді.

4. A={a,b,c}; B={1,2}; AхB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}; BхA={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}; AхB  BхA

5. А={1,2,3}; АхА={ (1,1), (1,2), (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1 ) , (3,2) , (3,3) }; 6.

;

- жиындарының Декарт көбейтіндісін табайық.Декарт көбейтіндісінің элементтері әр түрлі жиын элементтерінен алынған жұптардан тұратындығы белгілі.

Оларды кестеге орналастырайық: Бұл кестеде m жол, n бағаннан тұратын элементтер жұбын көреміз.

- саны х-элементтерінің жиыны мен ү элементтерінің жиындарының көбейтіндісіне тең.

(1)

Бұл жиындарды көбейту ережесі. Егер декарт көбейткіштері n жиыннан тұрса, онда (1) төмендегідей жалпылауға болады:

(2)A х B х C; (A х B) х C; A х (B х C) жиындары да әр түрлі. A х B х C- (a,b,c); (A х B) х C-

( (a,b) , c ) aA, bB, cC; A х (B х C)=(a, (b,c) ); Егер А,В жиындарының бірі бос болса, олардың Декарт көбейтіндісі де бос деп есептеледі. A х  =  х A =  х  = ;

Мысал, А={a₁,a₂,a₃}, B={b₁,b₂,b₃} ;

;

Негізгі әдебиет: 1[5-9]; 2[10-16]

Қосымша әдебиет: 7[9-34]

Бақылау сұрақтары:

Қандай жиынды ішкі жиын деп атайды?
Қандай жиындар тең болады?
Жиындармен орындалатын негізгі операцияларды қандай?
Бірігу,қиылысу,толықтыру операцияларының негізгі қасиеттерін атаңыз.

5. Жиындарды өрнектеудің қандай әдістері бар?

жүктеу 19,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34