192
немесе
2
0
(6.27)
мұндағы
2
/ ,
/ .
үйкеліссіз еркін тербелістің жиілігі.
−
жиілікті осциллятордың меншікті жиілігі,
өшу коэффициенті деп
атайды.
(6.27) теңдеуі
шартта өшетін тербелісті сипаттайды. Осы
теңдеудің шешімін келесі түрде келтіруге болады:
cos
,
(6.28)
мұндағы,
мен
бастапқы шарттармен анықталатын тұрақты,
0
мен 0
,
өшетін тербелістің жиілігі.
.
(6.29)
(6.28) функцияның графигі
0 мен
0 шарты үшін 6.14-суретте
көрсетілген. Функция периодты емес екені суреттен көрініп тұр. Алайда
2 /
шамасы өшетін тербелістің периоды деп аталады.
2 /
.
(6.30)
– көбейткіші косинустың алдындағы (6.28) теңдеудегі
өшетін тербелістің амплитудасы деп аталады. (6.14-суретте) үзік-үзік
сызықпен көрсетілген
Өшетін гармоникалық тербелістерге қарағанда жиіліктің азайып, ал
периодтың артатындығын көреміз.
Өшетін тербелістердің энергиясы
Мұндай энергия потенциалдық жəне кинетикалық энергиялардың
қосындысынан тұрады:
/2
/2.
мен
шамаларын
осы теңдеуге қойғаннан кейін (6.28) теңдеуіне сай келетін өшетін тербелістер
6.14-сурет
6.15-сурет
193
мен
тəуелділігінің графигін аламыз (6.15-сурет). Tербелістер
энергиясының кемуі кедергілер күшінің əсерінен болып отыр. Осы күштің
қуаты тең:
·
, сонда
d
/d
.
d
/d
0 тең
0 тең шамасынан басқа моменттерден.
Тербеліс
аздап өшкен кезде,
энергияның тəуелділігі
экспоненциалды түрде өзгереді:
.
(6.31)
Осыдан бір уақыт бірлігінде энергияның кемуі тең:
d /d
2
.
(6.31*)
Өшудің сипаттамасы
коэффициентінен басқа өшу процесін басқа да шамалармен
сипаттауға болады:
1. Релаксация уақыты – рет тербеліс амплитудасының кемуіне сай
келетін уақыт.
өрнегінен келесі формула шығады:
1/ .
(6.32)
2. Өшудің логарифмдік декременті. Оның өрнегі:
,
(6.33)
мұндағы, – өшетін тербелістердің периоды. Алдыңғы екі формуладан
келесі өрнек шығады:
1/
(6.34)
мұндағы,
– уақыты ішіндегі тербелістер саны, оның амплитудасы
рет кішірейеді.
Өшу онша үлкен болмайтын кезде
β
период ішіндегі тербеліс
амплитудасының салыстырмалы кемуін сипаттайды. Мұның өзі (6.33)-тен
шығады, себебі мұндай жағдайда келесі өpнек орын алады:
1
.
(6.35)
194
Сонымен қатар
β
өшу онша үлкен болмайтын кезде период
ішіндегі энергияның кемуі (6.31*)-ге сəйкес тең болады:
/
2
2 ,
содан
/2 .
(6.36)
3. Анықтамасы бойынша осциллятордың сапалығы:
.
(6.37)
Өшу онша үлкен болмайтын кезде
β
6.36) теңдеуі дұрыс болып,
келесі өрнек шығады:
2
/
.
(6.38)
Мысал. Əрбір
N тербеліс кезінде ығысу амплитудасы рет кемитін осциллятордың
сапалылығын анықтау керек.
/
тең болғандықтан мен табу
керек.
∆
амплитуданың рет кемуіне сəйкес келетін уақыт, сонда
∆
мен
∆
. Сонымен,
∆ / . мен мəндерін алғашқы формулаға
қойғаннан кейін табамыз:
/
.
Қорытындысында айта кету керек үлкен өшулер кезінде
β
жүйе
апериодтық қозғалыс жасайды. Тепе-теңдік қалпынан шығарылған жүйе
тербеліс жасамай қайта қалпына оралады.
§ 6.4. Мəжбүр тербелістер
Мəжбүр тербелістердің теңдеулері
Шынайы тербеліс жүйелеріндегі еркін тербелістер өшетін тербелістерге
жататыны белгілі. Осындай жүйелерде өшпейтін тербелістерді тудыру үшін
кедергі күштер арқылы энергияның кемуін теңестіру қажет. Мұндай əсерді
келесі түрде жүзеге асыруға болады: жүйеге сырттан айнымалы күшпен əсер
етеді − ең қарапайым дегенде гармоникалық заң бойынша
cos
.
Осы жағдайда пайда болатын тербелістер мəжбүрлік деп аталады. Көптеген
жағдайларда жүйе тек өз бетімен ғана тербеліп тұрмайды, сонымен қатар
белгілі жиілікпен өзгеріп отыратын
сыртқы күш əсеріне де ұшырайды.
Мұндай жағдайларда тербелісті мəжбүр тербелістер деп атайды.
Енді тербелістегі бөлшекке бір мезгілде үш күшпен əсер етейік:
квазисерпімді күш (
), кедергі күші (
) жəне мəжбүр етуші сыртқы күш
( ). Динамиканың негізгі заңына сай жазамыз:
195
cos
(6.39)
немесе ыңғайлырақ түрде тағы да жазамыз:
2
cos
(6.40)
мұндағы,
2
/ ,
/ ,
/ .
Тəжірибе бойынша едəуір уақыт өткеннен кейін (мəжбүр етуші
күштерді əсер ету моментінен бастап) жүйеде белгілі бір гармоникалық
тербеліс
орнайды, оның жиілігі мəжбүр етуші сыртқы күштің жиілігіне тең,
тек фазасы бойынша
шамасына қалып отырады:
cos
.
(6.41)
Осы теңдеудегі
мен тұрақтыларын табу қажет. Ол үшін (6.41)
теңдеуін уақыт бойынша екі рет дифференциалдаймыз:
ωsin
cos
/2 ,
cos
cos
,
(6.42)
Бастапқы (6.40) теңдеуге
, жəне мəндерін қойып, табамыз (6.40)
теңдеуінің
сол
жағындағы
үш
гармоникалық функцияның қосындысы
cos
функциясына тең болады.
, жəне
арасындағы
фазалық
ығысуды ескере отырып, осы теңдеуді
векторлық диаграмма (
) жағдай
үшін келтірейік (6.16-сурет). Осы
диаграммада
əрбір
вектордың
мағынасы
келтірілген,
олардың
модульдері үдеудің өлшемдігін алады
(жақшада көрсетілген).
Пифагор теоремасы арқылы осы диаграммадан келесі өрнек шығады:
4
,
Осыдан:
/
(6.43)
(6.40) теңдеуінің шешімі біртекті теңдеулердің жалпы шешімдері мен біртекті емес теңдеулердің
жеке шешімдерінің қосындысымен анықталады:
cos
cos
. Бізге
тек қалыптасқан тербелістерге сəйкес келетін теңдеулердің жеке шешімдері ғана қажет. Ал
біртектес теңдеудің жалпы шешімі өшетін тербеліcтерді сипаттайды.
6.16-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
