179
d
цт
ω / sin cos
d .
Шыбықтың түгел ұзындығы бойынша интегралдап, табамыз:
цт
sin cos .
(2)
(1) жəне (2) теңдеулерден:
cos
3g/2ω .
(3)
Енді
вектордың модулі мен бағытын табамыз. Шыбық
-бұрыштық
жылдамдықпен айналатын санақ жүйесінде оның инерция центрі – С нүктесі –
горизонталь шеңбер бойымен қозғалады. Сондықтан инерция центрінің қозғалыс
заңынан – (3.11) формуладан вектордың вертикаль құраушысының , ал
горизонталь құраушысының
g теңдеуімен анықталатындығы шығады,
мұндағы, С инерция центрінің нормал үдеуі. Осыдан:
ω sin .
(4)
вектордың модулі:
g
1
7/4 g/ω
,
Ал оның бағыты – −
векторымен мен вертикаль aрасындағы бұрыш – cos
g/ формуламен анықталады.
, сондықтан вектор бағыты шыбықпен
бірдей түспейді. Бұған
cos мəнін cos мəні арқылы өрнектеп көз жеткізуге
болады:
cos
4 cos
√9
7
.
Осыдан,
cos
cos , олай болса
, бұл 5.33-суретте көрсетілген.
Тағы да айта кетелік центрден тепкіш
цт
инерция күшінің тең əсерлісі С нүктесі
арқылы өтпейді, ол одан төмен жатыр. Шынында да
цт
жəне (4) формуламен
анықталады, ал қорытынды
цт
момент (2) формуламен анықталады. Осы
формулалардан
цт
вектордың О нүктесіне қатысты иінінің
cos екендігі шығады
(5.33-сурет).
5.12. Гироскоп. Өсі вертикальмен бұрыш жасайтын массасы
зырылдауық О тіреу нүктесі арқылы өтетін вертикаль
өсті айналатын центрінен О нүктеге дейінгі қашықтық . О
нүктедегі реакция күшінің горизонталь құраушысы
векторның модулі мен бағытын табу керек.
Шығару жолы. (5.38) бойынша (прецессия −дененің
импульс моменті əсерінен сыртқы күштің өрісінде өз
бағытын өзгертетін құбылысы) прецессияның бұрыштық
жылдамдығы:
g / .
5.34-сурет
180
зырылдауықтың инерция центрі шеңбер бойымен қозғалады, демек, вектор 5.34-
суретте көрсетілгендей бағытталған бұл вектор зырылдауықтың өсімен бірге
прецессия жасайды.
Инерция центрінің қозғалыс (3.11) теңдеуінен:
sin
.
Нəтижесінде:
g
/
sin .
Егер зырылдауықтың тіреу нүктесі абсолют тегіс жазықтықта жатса, онда
зымырауық дəл осы бұрыштық жылдамдықпен прецессия жасаған болар еді, тек енді
зырылдауықтың центрі С нүктесі арқылы өтетін вертикаль өсті айналатын болар еді.
181
6-тарау
Тербелістер
§ 6.1. Гармоникалық тербелістер
Гармоникалық тербелістердің кинематикасы
Гармоникалық тербелмелі қозғалыс деп нүкте қозғалысының тепе-
теңдік қалпынан ауытқу шамасының синусоида немесе косинусоида
бойымен периодты түрде қайталанып отыруын айтамыз.
Егер тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасын
арқылы белгілесек, онда осы ауытқудың уақытқа байланысты өзгеруі келесі
формуламен өрнектеледі:
cos
,
(6.1)
мұндағы,
амплитуда,
– фаза,
алғашқы фаза,
тербелістің циклдік (дөңгелек) жиілігі. Осы жиілік
периодпен жəне
сызықтық жиілікпен келесі формула арқылы байланысқан:
2 /
2
(6.2)
Тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ең үлкен ауытқуын оның
амплитудасы ( ) деп атайды. Ал тербеліс периодына кері шама тербеліс
периодының жиілігі ( ) делінеді. Егер t=0 мезетте тербелістегі нүкте өзінің
тепе-теңдік қалпында болмаса, онда оның алғашқы фазасы
туралы
сөз болады.
Циклдік
жəне сызықтық
жиіліктердің айырмашылығына
назар аударайық:
,
, ал , Гц (герц).
(6.1)
теңдеуін уақыт бойынша дифференциалдап,
жылдамдығын
жəне
үдеуін табамыз:
sin
cos
/2 ,
(6.3)
cos
cos
. (6.4)
Осы өрнектерден
жəне
амплитудаларына сəйкес
гармоникалық заңға сай
жылдамдық пен
үдеудің өзгеріп отыратыны
(6.1) теңдеуінің басқа шешімі болуы мүмкін, мысалы
sin
cos
, мұндағы жəне
–тұрақтылар; немесе
.
182
көрініп тұр. Жылдамдық фаза бойынша
ті ығысуын /2, ал үдеуді
ге
озып отырады, яғни үдеу
ті ығысу мен қарама-қарсы фазада болғаны.
Мұның өзі үдейдің ауытқудың бағытына қарсы екендігін көрсетеді.
Сөйтіп, гармоникалық тербелістегі нүктенің жылдамдығы тепе-теңдік
қалыптың маңына, ал үдеуі ауытқудың шеткі мəндерінде максимумге ие
болады. 6.1-суретте
0 болған жағдай үшін
,
жəне
тəуелділік
графиктері келтірілген.
(6.4) жəне (6.1) теңдеулерін бір-бірімен салыстыра отырып, үдеу үшін
келесі өрнекті табамыз:
немесе
0.
(6.5)
(6.5)
дифференциалдық
теңдеуі
гармоникалық осциллятордың теңдеуі деп
аталады. Осы теңдеудің (6.1) шешуінің құрамында
екі тұрақты бар: жəне . Əрбір нақты тербеліс
үшін олар алғашқы шарттармен беріледі
ығысуымен жəне алғашқы моменті
0
болғандағы
жылдамдығымен:
cos ,
sin .
(6.6)
Осыдан ізделініп отырған тұрақтылар табылады:
/
,
gα
/
.
(6.7)
Əдетте
ның мəні
,
−аралығында қаралады.
gα теңдеуі осы
көрсетілген аралығында
ның екі мəнімен қанағаттанады. Осы екі
шаманың тек біреуі ғана (6.6)-теңдеуіндегі
cos мен sin дұрыс
таңбаларына сəйкес келеді.
Алғашқы шарттардың маңызын қарастыратын мысалдар келтірейік.
1-мысал. 6.2-суретте графиктерде келтіргендей тербелістер гармоникалық заңға сай
тербеледі (екі жағдай: 1 жəне 2). Осы екі жағдай үшін алғашқы шарттардың
қандай екендігін қарастырайық жəне олар тербелістің түріне қалай əсер етеді
екен?
1-жағдай үшін алғашқы ығысу
0, ал
жылдамдығы
0 (еске сақтай кету керек
туынды дегеніміз осы нүктедегі
графигінің
көлбеуін
сипаттайды).
Сонда
тербеліс
амплитудасы
.
2-жағдай үшін
0 жəне
0. Сонда
амплитуда (6.7) теңдеуге сай
ден үлкен
болады.
2-мысал. (6.1) теңдеуіне сəйкес бөлшек жиі тербеліске ұшырайды, сөйтіп
0 болғанда
0 жəне
0. Сонымен
алғашқы фазасының мүмкін мəндерінің
аралығын табайық.
6.1-сурет
6.2-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
