Законы 10-е издание москва

186 
 
тербеліс  периодтары  бірдей  болады. 2) Егер  өске  бекітілген  денені 
горизонталь бағытта тербеліс центрінен соғып қалсақ, онда іліну нүктесінде 
ешқандай  реакция  күші  байқалмайды (6.5-сурет).  Сондықтан  тербеліс 
центрін соғу центрі деп атайды. 
Ауытқуы  үлкен  емес  болмашы  тербелістерге  тағы  бірнеше  мысалдар 
келтірейік. 
 
Мысал.  Бір  ауырлық  күші  өрісінде  массасы 
  тең  бөлшек  тербеліс  жасайды.  Оның 
потенциалдық  энергиясы    координатынан  келесі  формуламен  тəуелді:
 
1
cos
,  мұндағы 
  мен 
  тұрақтылар. 
  тепе-теңдік  күйі 
маңындағы бөлшектің  тербелісінің жиілігін табайық. 
Динамиканың негізі теңдеуіне сай келесі өрнекті келтірейік: 
 
 
 
 
/
sin
. 
 
Тербелістердің ауытқуы болмашы болғандықтан 
sin
 тең жəне алдыңғы 
теңдеу келесі түрге өзгереді: 
/
0. 
Осыдан келесі өрнек шығады: 
/ . 
 
Гармоникалық осциллятордың энергиясы. Квазисеріппелі  
 
күшінің  əсерінен  тербелетін  массасы    материалдық  нүктенің  энергиясын 
қарастырайық.  Бөлшектің  потенциалдық  жəне  кинетикалық  энергиялары 
келесі теңдеулермен анықталады: 
/2
, 
  
 
/2
/2
. 
  (6.12) 
Осы өрнектерден   мен   мəндері бір-біріне қатысты 
/2 тең фазамен 
ығысқан:
    энергиясы  максимал  болса,    кинетикалық  энергия  минималды 
жəне өзгеруі керісінше. Алайда толық энергия өзгеріссіз сақталып қалады: 
 
  
 
/2
/2,   
 
    (6.13) 
 
Мұнда 
/   екені  ескерілген. (6.13)-ті  ескере  отырып, (6.12) теңдеуін 
қайта көшіріп жазамыз: 
 
,    
.  
(6.14) 
 
6.6-суретте 
  мен 
  тəуелділік  графиктері  келтірілген.  Осы 
суреттен  потенциалдық  энергияның  кинетикалық  энергияға  айналатыны 
көрініп тұр жəне керісінше. 6.7-сурет осы қорытындыларды дəлелдеп отыр. 

187 
 
  
  
.  
 
 
 
Тербеліс  периодында  кинетикалық  энергия  мен  потенциалдық 
энергиялардың орташа мəндері бірдей жəне оның əрбіреуі 
/2−тең: 
  
 
/2 ,   
 
 
 (6.15) 
Себебі  период  ішінде  синустар

  мен  косинустар  квадраттарының 
қосындысының орташа мəндері − 1/2-тең.  
(6.13) теңдеуіне сəйкес осциллятордың тербеліс энергиясы 
 тең. 
Бұның  үлкен  маңызы  бар  жəне  ол  əрдайым  алдымызда  қолданылып 
отыратын болады.  
 
Энергия мен қозғалыс теңдеуі 
Жүйенің  тербеліс  қозғалысының  теңдеуін  динамиканың  ғана 
теңдеулерінен  ғана  емес  сонымен  қатар  энергияның  сақталу  заңдарынан  да 
табуға  болады  (кейде  мұндай  əдіс  ыңғайлырақ).  Сондықтан  энергия  үшін 
өрнекті құрастырып, оны уақыт бойынша дифференциалдап, жəне 
 
болғандықтан 
d /d  шартын орындап, табуға болады. Mіне, осы жағдайлар 
ізделініп отырған теңдеуді табуға мүмкіншілік береді. 
Егер 
  шарты  орындалса,  потенциалдық  энергия  тепе-теңдіктен 
ығысудың  квадратына  пропорционал  болғанда,  тербелмелі  жүйе 
гармоникалық  осциллятор  бола  алады.  Міне,  осы  шарт  əлсіз  тербелістердің 
«энергетикалық» критериі болып табылады. 
Мысал.  Тербелмелі  жүйеде 
  мен 
  болсын,  мұндағы  -  тепе-теңдіктен 
ығысу  қалпы, 
,  -  оң  тұрақтылар. 
  шарттарының 
гармоникалық осциллятордың теңдеуі екенін дəлелдейміз. 
Уақыт бойынша   дифференциалдап, келесі өрнекті аламыз: 
/
2
2
0. 
Осыдан 
/
0 екені  анықталады.  Міне,  осының  өзі 
/   
гармоникалық осциллятордың теңдеуі болып табылады. 
                                                            
 
 
1 теңдеуін 2  периоды шектерінде орташалау арқылы  
1  аламыз.  Косинустар  мен  синустар  арасындағы  айырмашылықтар  тек 
/2 фазаның ығысуымен ғана болса, онда 
 
1/2 екені табылады
 
6.6-сурет 
6.7-сурет 

188 
 
§ 6.2. Гармоникалық тербелістерді қосу 
Бір бағыттағы тербелістерді қосу 
Векторлық  диаграмма.  Вектор-амплитуда  графигін  сызу  арқылы 
көптеген  сұрақтарды  жеңілдетуге  болады. 
 
вектор-амплитуда 
  бұрыштық  жылдамдықпен 
сағат  тіліне  қарсы  бағытта  айналады.  Егер 
0 
болғанда 
 a-векторы  -өсімен  -бұрышын  түзеді 
(6.8-сурет),  онда 
  векторының 
X  өсіне 
проекциясы уақыт бойынша гармоникалық заңмен 
өзгереді. (6.1) тербелісті осындай түрде келтіруді векторлық диаграмма деп 
атайды. Бір бағыттағы тербелістерді қосу үшін осындай векторды пайдалану 
ыңғайлы. 
Тербелістерді  қосу.  Енді  бір  бағытта  қозғалатын,  жиіліктерінің  мəні 
арасында  аздап  қана  айырмашылығы  бар  немесе  тіпті  бірдей  екі  тербелісті 
екі түрлі жолмен қосып көрейік.  
1.  Бірдей жиіліктер: 
. Бұл жағдай үшін қорытынды ығысу: 
 
cos
cos
. 
      (6.16) 
 
Қосылатын  тербелістердің  əрбіреуін 
  мен 
  векторлары  арқылы 
келтіруге  болады.    өсіне  жүргізілген  осы  проекциялардың  қосындысы 
  вектордың  проекцияларының  қосындысына  тең (6.9-сурет). 
 
мен 
  векторлары  бірдей    бұрыштық  жылдамдықпен  айналғандықтан,   
векторы да тура сондай бұрыштық жылдамдықпен айнала алады. Олай болса 
қорытынды тербеліс те гармоникалық болып табылады жəне оның түрі:  
 
cos
 , 
 
 
 
(6.17) 
 
мұндағы,   мен   -ны 6.9-суреттен табуға болады: 
 
2
cos ,   
 
       (6.18) 
  
 
   
 .  
 
 
    (6.19) 
 
6.8-сурет