183
(6.7)-ден
g
0 екендігі шығады. Яғни,
бірінші немесе үшінші
квадранттарында, яғни (0,
/2) немесе (
,
/2) аралығында болуы мүмкін.
Осы шамаларды (6.6) теңдеудегі
cos жəне sin
ның таңбаларымен
салыстырғанда, тек екінші аралығында (
,
/2) мүмкіншілігі бар екендігі
шығады
.
Гармоникалық тербелістердің динамикасы
Механикалық жүйе қозғалысының сипатын анықтау үшін динамика
заңына немесе энергияның сақталу заңына сүйене отырып, жүйе
қозғалысының теңдеуін құрастыру керек. Егер осы теңдеу (6.5) түріне келе
алатын болса, онда осы берілген жүйенің гармоникалық осциллятор екеніне
ешқандай күмəн тумайды. Осы гармоникалық осциллятордың жиілігі
тің
қасындағы коэффициенттің квадрат түбіріне тең. Бірнеше мысал келтіріп,
олардан алынған қорытындыларды жалпылап көрейік.
Дененің тербелісі немесе осцилляциясы жайлы сөз болғанда, біз оның
бір ғана траекториясымен оңға, солға, жоғары-төмен жəне т.б.
қайталанып отырған қозғалысын айтамыз. Басқаша айтқанда
қозғалыс периоды болады дейміз. Периодты қозғалыстың
қарапайым
мысалына
серіппенің
ұшындағы
дененің
қозғалысын келтіруге болады.
Серіппедегі жүк. 6.3-суретте массасы жүк салмақсыз
серіппеге ілінген, оның қаттылығы жəне ол вертикаль
тербеліс жасайды. X өсіндегі бастапқы O нүктесін тепе-теңдік
қалпына келтіреміз. Мұндағы
g
∆ , ∆
осы қалыптағы
серіппенің керілуі. Сонда динамиканың негізгі заңына сай
g
∆
немесе:
/
0.
Осы теңдеуді (6.5)-пен салыстырғанда, оның
гармоникалық осциллятор теңдеуі екені шығады.
Тепе-теңдік қалпының жанында оның периодтығы -
ға, жиілігі
- тең болады.
g/ ,
2
g/ . (6.8)
Вертикаль
ілінген
серіппе
қозғалысының
горизонталь орналасқан серіппе қозғалысынан еш
айырмашылығы жоқ.
Математикалық маятник. Математикалық маятник дегеніміз –
жіңішке жіпке ілінген кішкентай жүк. Созылмайтын жіңішке жіптің массасы
жүктің массасымен салыстырғанда, əлдеқайда ескерусіз аз болады деп
саналады. Математикалық маятниктің қозғалысы қарапайым гармоникалық
тербеліске ұқсас: жүк шеңбер доғасының бойымен тепе-теңдік қалыптан
6.3-сурет
6.4-сурет
184
(жіптің вертикаль тік болатын кезі) бірдей амплитудамен екі жаққа тербеліп
отырады жəне төменгі нүктеден максимал жылдамдықпен өтеді. Бірақ бұл
тербелістер гармоникалық болып табыла ма екен? Осыны анықтайық.
Созылмайтын салмақсыз ұзындығы
жіпке ілінген массасы материалдық
нүкте вертикаль жазықтықта тербеліс жасайды (6.4-сурет). Осы жағдай үшін
(2.16) динамика теңдеуінің
-ортқа проекциясын пайдалану ыңғайлы.
Орттың бағыты доғалық координаттар жүйесінің бағытымен сəйкес келеді
(
алгебралық шама, суретте
0 жағдайы келтірілген). -ің бастапқы
санағын тепе-теңдік қалпындағы O нүктесі деп белгілейік.
,
шарттарын орындап,
0 қайтарғыш күштің проекциясын келесі түрде
жазамыз:
g sin немесе
/ sin
0.
(6.5) теңдеулерімен осы теңдеуді салыстырғанда, оның гармоникалық
осциллятор теңдеуі емес екені көрініп тұр. Себебі оның құрамында -
ығысудың орнында
sin тұр. Алайда өте аздаған вертикаль ауытқулар
кезінде
sin
тең болып, математикалық маятниктің қозғалысы (6.5)
өрнекпен сипатталатын гармоникалық тербеліс болып табылады, сонымен
аздаған (ауытқулар) тербеліс жасайтын математикалық маятниктің Т
периоды мен
жиілігі келесі теңдеулермен сипатталады:
g/ ,
2
/g
(6.9)
Тербеліс
периодының
массаға
тəуелсіз
екені
формуладан жақсы көрініп тұр. Бір ғана əткеншекте
баланың да ересек адамның да бірдей тербеле алатындығы
міне осыдан.
Физикалық маятник деп бекітілген горизонталь өске
қатысты өз салмағының арқасында еркін тербеле алатын
қатты денені айтады (6.5-сурет). Ауырлық күш əсер ететін дененің тербелісін
қарастырайық. Физикалық маятникті айналмалы қозғалыс динамикасының
көмегімен сипаттаған ыңғайлы. 6.5-суретте көрсетілгендей,
ауытқу
бұрышының сағат тіліне қарсы оң бағытын таңдап аламыз жəне өсі бізге
қарай бағытталған болсын. Сонда
өсіне ауырлық күш моментінің
проекциясын келесі өрнекпен келтіруге болады:
g sin . Олай
болса айналмалы қозғалыстың динамикалық теңдеуі (5.30) келесі түрге
өзгереді:
g sin ,
мұндағы, − О өсіне қатысты дененің инерция моменті, – О іліну өсімен С –
масса центрінің арасындағы арақашықтық.
sin
сияқты болмашы
бұрыштарға ауытқитын тербелістерді қарастырумен шектелейік. Осы
шарттардың себебімен алдыңғы теңдеу келесі түрге өзгереді:
6.5-сурет
185
g /
0.
Егер тербелістің жиілігі
жəне периоды
болса, онда олар
гармоникалық тербелістер жасайды жəне физикалық маятниктің тербеліс
жиілігі мен периоды келесі түрде анықталады:
g / ,
2
/ g
(6.10)
Тура осындай ұзындығымен сипатталатын математикалық маятникте
жиілік пен периодқа ие бола алады:
келт
/
,
(6.11)
Бұл ұзындықты физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп
атайды.
Түзу сызықтың бойында орналасқан,
нүктесі іліну нүктесімен С
массалар центрі арқылы өтеді. нүктесінен
келт
қашықтықта орналасқан
осы
нүктесін физикалық маятниктің тербеліс центрі деп атайды (6.5-
сурет).
тербеліс центрінің өте маңызды қасиеті бар: егер маятникті
төңкеріп жіберсе жəне
өсіне қатысты ол болмашы тербелістер жасаса,
онда тербеліс периоды өзгермейді. Төңкерілген маятниктің осы қасиетіне
байланысты дененің еркін түсу үдеуі анықталған: екі нүктені, яғни мен
немесе өстерді олардың жиіліктері бірдей болатындай етіп, болмашы
тербелістер жасатамыз, сөйтіп
арақашықтығын келтірілген ұзындыққа
теңестіреміз:
ОО
келт
. Осыдан
− жиілікпен
келт
келтірілген ұзындықты
тауып, келесі формуладан
g/
келт
нүктенің еркін түсу үдеуін −
g
табамыз.
Жалпы қорытындылар. Қарастырылған мысалдар үйкеліссіз еркін
тербелістерге жатады. Мұндай жүйелер тек өзіне ғана міндеттелген, себебі ол
тепе-теңдік қалыптан шығарылған. Сонымен кез келген осциллятор
үйкеліссіз еркін тербеліс кезінде, егер ондағы əсер ететін күш немесе күш
моменті квазисеріппелі болса, гармоникалық болып табылады. Квазисерпімді
күш дегеніміз тепе-теңдік қалпына бағытталған жəне ығысудың түзу
сызықты тəуелділігін көрсететін күш. Осы квазисеріппелі күш немесе момент
күшінің сипаты болмашы тербелістердің шарты болып табылады.
Сонымен қатар үйкеліссіз еркін тербелістердің жиілігі мен периоды осы
осциллятордың ғана өзінің қасиетіне тəуелді, ал тербелмелі жəне бастапқы
фазалы амплитудаға келсек, оның айырмашылығы бастапқы шарттармен
анықталады.
Физикалық маятник оның барлық массасы тербеліс центрінде
шоғырланған жағдайымен бірдей болатын периодпен тербеледі. Сонымен
тербеліс центрінің екі маңызды қасиеті бар: 1) Егер С нүктесінің О нүктесі
арқылы өтетін өске қатысты тербеліс центрі болса, онда ол О нүктесі арқылы
өтетін өске де қатысты тербеліс центрі болып табылады əрі екі жағдайда да
Достарыңызбен бөлісу: |
