158
түсу нүктелерін күштердің əсер ету бағытымен орын ауыстыруға болады –
бұл тəсіл жиі қолданылады.
Тең əсерлі (қорытқы) күш
Барлық сыртқы күштердің қорытқы моменті тең əсерлі күшке
перпендикуляр, яғни
болатын кезде барлық
сыртқы күштерді белгілі бір түзудің бойымен əсер
ететін жалғыз ғана күшке айналдыруға болады.
Шындығында да, егер қайсы бір нүктеге қатысты
қорытқы момент
болса, онда берілген жəне
кезінде орындалатын
векторды табуға
болады (5.14–сурет).
.
векторды таңдап алу бірмəнде емес: оған векторға параллель
болатын кез келген векторды қосу соңғы теңдікті еш өзгертпейді. Берілген
теңдік күштің түсу нүктесін емес, тек оның əсер ету түзуін ғана анықтайды.
Сəйкес векторлардың жəне модульдерін біле отырып, күштің иiнің
табуға болады (5.14-сурет):
/ .
Сонымен, егер
болса, онда қатты дененің жеке нүктелеріне əсер
ететін күштер жүйесіне жалғыз ғана қорытқы күш жауапты жəне барлық
сыртқы күштердің қосынды моментін тудыратын күшпен алмастыруға
болады.
Біртекті күш өрісінде мысалға ауырлық өрісінде осындай жағдай туады,
онда əрбір бөлшекке əсер ететін күштің түрі
g. Бұл жағдайда ауырлық
күшінің кез келген нүктеге қатысты қосынды моменті:
,
.
Дөңгелек жақшадағы қосынды (3.8) бойынша
тең болады. Мұндағы
дененің массасы; - инерция центрінің О нүктесіне қатысты радиус-
векторы. Сондықтан:
,
,
.
Ауырлық күшінің
тең əсерлісі дененің инерция центрі арқылы
өтеді. Əдетте ауырлық күшінің тең əсерлесі дененің инерция центріне немесе
оның ауырлық центріне түсіріледі. Дененің инерция центріне қатысты бұл
күштіңмоменті нөлге тең болатыны анық.
5.14-сурет
159
Қатты денелер үшін тепе-теңдік жағдайлары
Қатты дене тыныштық күйін себепсіз бұзбайды, ол үшін қандай да бір
(5.26) теңдеуіне сай қажетті екі шарттар орындалуы жеткілікті.
1) Денеге əсер еткен барлық сыртқы күштердің қорытындысы нөлге тең
болуы қажет:
0;
2) Кез келген нүктеге қатысты сыртқы күштердің қорытқы моменті де
нөлге тең болуы қажет:
0.
Осындай шарттар дене қандай санақ жүйесінде тыныштықта жатса сол
жүйеде орындалуы керек. Егер санақ жүйесі инерциалды болмаса, онда
сыртқы күштердің əсерінен басқа тағы да инерция күштерін ескеру қажет.
Момент күштеріне де осындай шарттар сəйкес келеді.
Енді қатты дене қозғалысының төрт дербес жағдайларын қарастыруға
көшеміз:
1) Қозғалмайтын өстен айналуы, 2) жазық қозғалысы, 3) еркін өстерден
айналуы, 4) қозғалмайтын бір нүктесі бар ерекше қозғалыс жағдайы
(гироскоптар).
1. Қозғалмайтын өстен айналу
Əуелі қатты дененің
айналу өсіне қатысты
импульс моменті үшін өрнекті тауып (5.15-сурет), (5.9)
формуланы пайдаланып, жазамыз:
2
(
m p )
z
iz
i
i
M
M
мұндағы
жəне
қатты дененің і-ші бөлшегінің
массасы жəне айналыс өсінен қашықтығы,
- оның
бұрыштық жылдамдығы. Дөңгелек жақшадағы шаманы
деп белгілеп, табамыз:
,
(5.27)
мұндағы
-қатты дененің
өске қатысты импульс моменті деп аталатын
шама:
∑
ρ .
(5.28)
5.15-сурет
160
Қатты дененің импульс моменті, таңдалған өске қатысты массалардың
таралуына тəуелді жəне аддитивті шама болып табылады.
Қатты дененің импульс моментін есептеу формуласы:
d
ρ d ,
мұндағы
d жəне d – дененің қарастырылып отырған
өсіне
қашықтықта орналасқан элементінің массасы мен көлемі;
ρ− дененің осы
нүктедегі тығыздығы.
Инерция центрі арқылы өтетін
өсіне қатысты анықталатын кейбір
біртекті қатты денелердің импульс моменттері төменде келтірілген (мұндағы
– дененің массасы);
Қатты дене
өсі
Инерция
моменті
Ұзындығы жіңішке
түтікше
өсі шыбыққа перпендикуляр
1/12
Радиусы тұтас
цилиндр
өсі цилиндр өсімен бірдей
түседі
1/2m
Радиусы жұқа диск
өсі дискінің диаметрімен
бірдей түседі
1/2m
Радиусы шар
өсі шар центрі арқылы өтеді
2/5m
Осы есептеулерге бірер мысалдар келтірейік.
Кез келген айналыс өсіне қатысты қатты дененің инерция моментін
есептеу математикалық тұрғыдан қарастырғанда жалпы алғанда оңай жұмыс
емес. Алайда кейбір жағдайларда егер Штейнер теоремасын пайдаланса
инерция моментін анықтау əлдеқайда жеңілденеді: егер
дегеніміз
массасы болатын дененің қайсыбір айналыс өсіне қатысты анықталған
инерция моменті, ал
массалар центрі арқылы өтетін жəне алдыңғы
өстен қашықтықта оған параллель орналасқан өске қатысты анықталған
инерция моменті болса, онда мына қатынас орындалады:
(5.29)
мұндағы, – дененің кез келген шексіз кішкене бөлігінің массасы да, ал –
оның айналыс өсінен перпендикуляр бойымен алынған қашықтығы.
Достарыңызбен бөлісу: |
