167
бірдей болғаны жəне бұл жағдайда
0 болатындығын жеңіл байқауға
болады, яғни айналу өсінің бағыты сыртқы əсерінсіз-ақ өзгеріссіз қалады.
Сыртқы күштердің əсерінсіз-ақ өзінің кеңістіктегі бағытын сақтап
отыратын айналу өсін дененің еркін өсі деп атайды.
Қатты дененің жалпы теориясында кез келген қатты дене үшін оның
инерция центрі арқылы өтетін өзара перпендикуляр үш өстің болтындығы
дəлелденеді, олар еркін өстер рөлін атқарады. Оларды инерцияның бас өстері
деп атайды.
Кез келген пішіндегі қатты дене үшін инерцияның бас өстерін табу
математикалық тұрғыдан оңай шаруа емес. Бірақ ол қандай да бір
симметриясы бар денелер үшін көп жеңілденеді, себебі бұл жағдайда
инерция центрінің орны мен инерцияның бас өстерінің бағыттарының да
симметриялары бірдей.
Мысалы, біртекті тікбұрышты паралепипедтің бас инерция өстері оның
қарсы жақтарының центрлері арқылы өтеді. Егер дененің симметрия өсі
болса, (мысалы, біртекті цилиндр), онда оның бас инерция өстерінің біреуі
симметрия өсі бола алады да, қалған екі өсі ретінде кезкелеген екі өзара
перпендикуляр, əрі симметрия өсіне перпендикуляр жазықтықта жататын
жəне дененің инерция центрі арқылы өтетін өстерді алуға болады, сонымен,
өстік симметрия бар денелерде бас инерция центрі арқылы өтетін кез келген
өзара перпендикуляр үш өс алынады. – бас өстердің бірде-біреуі де денеге
қатысты бекітілмеген. Дененің бас инерция өстерінің маңызды қасиеті:
олардың кез келген біреуінен айналғанда дененің импульс моменті бағыты
бойынша дененің
бұрыштық жылдамдығымен бірдей түседі жəне
формуламен анықталады:
(5.36)
мұндағы, – дененің берілген бас инерция өсіне қатысты анықталатын
импульс моменті əрі өзі қатысты анықталатын нүктеге тəуелсіз болады
(бұл айналу өсі тыныштықта деп есептелінеді).
(5.36) формуланың дұрыстығына өстік симметриясы бар біртекті дене
жағдайында жеңіл көз жеткізуге болады, шындығында да, (5.27) бойынша,
қатты дененің айналыс өсіне қатысты импульс моменті
(бұл жерде
осы өстің бойындағы кез келген нүктеге қатысты анықталатын
вектордың
проекциясы). Егер дене айналу өсіне қатысты симметриялы болса, онда
симметриялықтан
вектордың бағыты
вектордың бағытымен бірдей
болатындығы шығады, яғни:
.
168
Жалпы алғанда, (айналу өсі дененің инерция центрі арқылы өтетін
болса да, бірақ инерцияның бас өстерінің бірде біреуімен бірдей түспейді)
вектордың бағыты вектордың бағытымен сəйкеспейтіндіктен олардың
арасындағы байланыс күрделі болады. Айналып тұрған қатты дененің
қозғалыс сипатының күрделілігі міне, осында.
4. Гироскоптар
Гироскоп деп симметрия өсінен үлкен бұрыштық жылдамдықпен
айналатын ауыр (шомбал) симметириялық дене аталады. Енді гироскоптың
қимыл əрекетін зырылдауықтың негізінде қарастырамыз.
Тəжірибе көрсеткендей, егер айналып тұрған зырылдауықтың өсі
вертикалға көлбеу болса, онда зырылдауық құламай прецессия деп аталатын
қозғалыс жасайды. Вертикалды айнала оның өсі қандай да бір
бұрыштық
жылдамдықпен конус сызады, əрі зырылдауықтың айналу
бұрыштық
жылдамдығы аз болады.
Гироскоптың осындай қасиетін (5.12) теңдеудің көмегімен жеңіл
түсіндіруге болады, бұл үшін тек
ω
ω деп алу керек (міне осы шарт
гироскоптың үлкен жылдамдығын айқындап бере алады). Шындығында да
прецессия жасап тұрған зырылдауықтың О таяныш нүктесіне қатысты
импульс моментінекі момент импульстерінің қосындысы түрінде өрнектеуге
болады, яғни:
.
зырылдауықтың
өз
өсінен
айналу
нəтижесінде туған момент импульсі мен
зырылдауықтың вектор өсі арқылы прецессиясынан
туатын кейбір қосымша
импульс моменті 5.20-
суретте көрсетілген. Зырылдауықтың өсі инерцияның
бас өстерінің бірімен бірдей түсетін болғандықтан,
(5.36) cай
болады. Мұндағы
–
зырылдауықтың осы өске қатысты импульс моменті.
Сонымен қатар прецессия бұрыштық жылдамдығы
азырақ болған сайын оған сəйкес
моменті де
кішірееді.
ω
ω кезінде барлық практикалық
маңызы бар жағдайларда
болады, сондықтан
қорытынды импульс моменті шама жағынан да, бағыты жағынан да
импульс моментімен бірдей түседі, сондықтан
5.20-сурет
169
вектор жайлы бəрін білсек, зырылдауық-гироскоп жайлы да бəрін
білетін боламыз.
Бірақ вектордың қасиеті (5.12) моменттер теңдеуіне бағынады. Осы
теңдеуге сай ол О нүктесіне қатысты
импульс моменті
d уақыт
аралығында (5.20-сурет) келесі өсімше алады:
d
dt ,
(5.37)
ал осы өсімшенің бағыты мұндағы вектормен – сол О нүктесіне қатысты
сыртқы күштердің моментімен (бұл жерде ол
g ауырлық күшінің моменті)−
бірдей түседі.
d
екені 5.20-суреттен көрініп тұр. Нəтижесінде вектор
(демек зырылдауықтың өсі де) вектормен бірге жартылай төбе бұрышы
болатын дөңгелек конус сыза вектор өстен айналады. Зырылдауық-гироскоп
вектор өстен қайсыбір
бұрыштық жылдамдықпен прецессия жасайтын
болады.
, жəне
векторының арасындағы байланысты тағайындайық.
Суретке сай мұндағы,
вектордың
уақыттағы өсімшесі |
|
sin ω d , немесе векторлық түрде d
dt. Осы өрнекті (5.37)–ге
қойғаннан кейін:
.
(5.38)
Осы теңдеуден күш моменті үдеуді емес прецессияның
бұрыштық
жылдамдығын анықтайтыны көрініп тұр. Сондықтан моментінің лезде
жоғалуы прецессиясының да лезде жоғалуына əкеледі. Міне, осы тұрғыдан
прецессияның инерттілігі жоқ деп айтуға болады.
Гироскопқа əсер ететін күш моментінің тегі əртүрлі болуы мүмкін.
Регулярлдық прецессияны ( жылдамдығы тұрақты болуы қажет)
қамтамасыз ету үшін ең маңыздысы мұндағы вектор модулі бойынша
өзгермей, тек гироскоптың өсімен бірге бұрылып отыруы ғана керек.
Мысал. Массасы өз симметрия өсінен үлкен
ω бұрыштық жылдамдықпен айналатын
көлбеу зырылдауық прецессиясының бұрыштық жылдамдығын табу керек, егер
оның өз өсіне қатысты импульс моменті болса. Зырылдауықтың инерция
центрі тірелу нүктесінен қашықтықта орналасқан.
Шығару жолы. (5.38) бойынша
ω ω sin
g sin , мұндағы – вектормен
зырылдауық өсінің арасындағы бұрыш (5.20-сурет). осыдан
ω
g / ω.
ω шамасы зырылдауық өсінің көлбеулік бұрышына тəуелсіз,сонымен қатар,
алынған нəтижеден
ω шамасының шамасына кері пропорционалдығы да
шығады, яғни, шындығында да, зырылдауықтың бұрыштық жылдамдығы
Достарыңызбен бөлісу: |
