Законы 10-е издание москва

149 
 
мұндағы  барлық  векторлар  берілген  санақ  жүйесінің  бір  ғана  О  нүктесіне 
қатысты  анықталған.  Жүйенің  импульс  моменті  аддитивтік  шама:  жүйенің 
импульс  моменті  оның  жеке  бөліктері  өзара  əрекеттесе  ме  жоқ  па  оған 
тəуелсіз түрде импульс моментерінің қосындысына тең болады. 
Жүйенің  импульс  моментінің  өзгерісін  қандай  шама  анықтай  алады, 
соны  қарастырайық.  Бұл  үшін (5.11) өрнекті  уақыт  бойынша 
дифференциалдаймыз: 
d /d
∑ d d .  Өткен  параграфта  d d  
туындысы і-ші бөлшекке əсер ететін барлық күш моменттерінің қосындысы 
түрінде, яғни 
 түріндекелтірілген. Сонда: 
 
d /d
 .
 
 
мұндағы,  бірінші  қосынды – барлық  ішкі  күштердің  О  нүктесіне  қатысты 
қосынды  моменті,  екінші  қосынды – барлық  сыртқы  күштердің  сол  О 
нүктесіне қатысты анықталған қосынды моменті.  
Кез  келген  нүктеге  қатысты  анықталған  барлық  ішкі  күштердің 
қосынды  моменті  нөлге  тең  болатындығын  көрсетейік.  Шындығына 
келгенде  ішкі  күштер  дегеніміз – бұл  берілген  жүйе  бөлшектерінің 
арасындағы өзара əрекеттесу күштері. Ньютонның үшінші заңы бойынша бұл 
күштер  жұп-жұп  болып,  өзара  модульдері  бойынша  тең  де,  бағыттары 
бойынша  қарама-қарсы  жəне  олар  бір  түзудің  бойында  жатады,  олай  болса 
олардың  иіндері  де  бірдей  болғаны.  Сондықтан  əрбір  жұптың  өзара 
əрекеттесу күштерінің моменттері модельдері бойынша өзара тең, ал бағыты 
бойынша  қарама-қарсы,  яғни  бір-бірін  теңгереді,  демек  барлық  ішкі 
күштердің қосынды моменті əрқашан нөлге тең болады.  
Осының нəтижесінде соңғы теңдеу келесі түрге өзгереді: 
d /d
сырт.
,   
 
 
         (5.12) 
мұндағы, 
сырт.
 барлық сыртқы күштердің моменті, 
сырт.
∑
.
. 
(5.12)  теңдеуден  шығатын  қорытынды:  жүйенің  импульс  моментінің 
уақыт  бойынша  туындысы  барлық  сыртқы  күштердің  қосынды  моментіне 
тең.  Бұл  жерде    жəне    моменті  де  берілген  санақ  жүйесінің  бір  ғана  О 
нүктесіне қатысты анықталған. 
Бір бөлшек жағдайындағы тəрізді (5.12) теңдеуден жүйенің шектеулі   -
уақыт  аралығындағы  импульс  моментінің  өсімшесі  келесі  өрнекпен 
анықталады: 
ішк.
d  , 
    
 
 
(5.13) 
 

150 
 
Яғни, жүйенің импульс моментінің өсімшесі барлық сыртқы күштердің 
осы уақыт аралығындағы қорытынды моментінің импульсына тең болады.   
жəне 
сырт.
  екі  момент  те  берілген  санақ  жүйесінің  бір  ғана  О  нүктесіне 
қатысты анықталған. 
(5.12)  жəне (5.13) теңдеулер  инерциялық  санақ  жүйелерінде  де, 
инерциялық  емес  санақ  жүйерінде  де  орындалады.  Тек  инерциялық  емес 
санақ жүйелерінде сыртқы күштер рөлін атқаратын инерция күштерін ескеру 
керек, яғни бұл теңдеулерде 
сырт
 деп 
  
ин
 қорытындысын түсінy керек. 
Мұндағы 
  
–  сыртқы  өзара  əрекеттесу  күштерінің  қорытынды  моменті 
ин
,–  инерция  күштерінің  қорытынды  моменті  (санақ  жүйесінің  бір  ғана  О 
нүктесіне қатысты). 
Сонымен,  келесі  аса  маңызды  қорытынды  шығады: (5.12)  теңдеу 
бойынша жүйенің импульс моменті тек барлық сыртқы күштердің қосынды 
моментінің  əсерінен  ғана  өзгере  алады.  Осыдан  тағы  бір  іргелі  қорытынды 
пайда  болады:  импульс  моментінің  сақталу  заңы:  инерциялық  санақ 
жүйесінде  бөлшектердің  тұйықталған  жүйесінің  импульс  моменті 
тұрақты болып қалады, яғни уақыт бойынша өзгермейді. 
Сонымен,  инерциялық  санақ  жүйесінде  бөлшектердің  тұйықталған 
жүйесінің импульс моменті: 
∑
.    
 
 
(5.14) 
Тұйықталған жүйенің жеке бөліктерінің немесе бөлшектерінің импульс 
моменті уақыт бойынша өзгере алатындығы соңғы өрнекте көрсетілген. Бірақ 
бұл  өзгерістердің  барлығы  жүйенің  бір  бөлігінің  импульс  моментінің 
өсімшесі оның екінші бөлігінің импульс моментінің кемуіне тең болатындай 
түрде өтіп жатады (мұның барлығы əрине санақ жүйесінің бір ғана нүктесіне 
қатысты). 
Осы  мағынада (5.12) жəне (5.13) теңдеулерін  импульс  моментінің 
сақталу заңының жалпылама тұжырымдамасы деп қарастыруға болады, онда 
бізге қажетті жүйенің импульс моментінің өзгеру себебі көрсетілген – басқа 
денелердің əсері (сыртқы өзара əрекеттесу күштерінің моменті арқылы). Бұл 
айтылғандардың бəрі, əрине, тек инерциялық санақ жүйелеріне ғана қатысты 
екендігі анық. 
Тағыда айта кетейік, импульс моментінің сақталу заңы тек инерциялық 
санақ  жүйелеріне  қатысты  ғана  орындалады.  Бірақ  инерциялық  емес  санақ 
жүйелерінде  де  оның  орындалып  қалуы  кездеседі.  Бұл  үшін (5.12) теңдеуі 
бойынша  барлық  сыртқы  күштердің  қосынды  моменті  (инерция  күштерін 
қоса  алғанда)  нөлге  тең  болуы  жеткілікті.  Мұндай  жағдайлар  өте  сирек 
кездеседі. 

151 
 
Импульс  моментінің  сақталу  заңы  энергия  мен  импульстың  сақталу 
заңдары тəрізді аса маңызды рөл атқарады. Ол көптеген жағдайларда болып 
жатқан  процестердің  қасиеттері  жайлы  жеткілікті  мəліметтер  бере  алады. 
Енді мысалдар келтірейік. 
 
Mысал.  Бірдей  екі  шар  тегіс  горизонталь  шыбыққа 
оның 
бойымен 
сырғанай 
алатындай 
кигізілген (5.11-сурет). 
Шарларды 
жақындатып,  оларды  жіппен  жалғайды. 
Содан  кейін  тұтас  қондырғыны  вектор 
өстен  айналысқа  келтіріп,  оны  өз  бетінше 
қалдырып, 
жіпті 
үзеді. 
Шарлардың 
шыбықтың  шетіне  қарай  ұмтылатыны 
анық.  Осы  кезде  қондырғының  бұрыштық 
жылдамдығы  күрт  төмендейді.  Бақыланатын  эффект  импульс  моментінің 
сақталу  заңының  тікелей  заңдары  болып  табылады,  себебі  бұл  қондырғы 
тұйықталған  жүйенің  үлгісі  (сыртқы  күштер  бір-бірін  өтемелеген,  өстердегі 
үйкеліс күштері елеусіз аз). Бұрыш жылдамдығының өзгерісін сандық сипаттау 
үшін  қондырғының  массасы  түгелдей  шарларда  шоғырланған  деп  аламыз.  Ал 
олардың  мөлшері  ескерусіз  аз.  Сонда  шарлардың  импульс  моменті  жүйенің 
бастапқы  жəне  ақырғы  күйлеріндегі  С  нүктеге  қатысты  тең  болуынан 
2
2
 шығады: 
 .
 
Осыдан  шарлардың  айналыс  өсінен    қашықтығы  артқан  сайын,  қондырғының 
бұрыштық  жылдамдығы  кемиді  (
1/   тəрізді).  Керісінше,  егер  шарлардың 
арақашықтығы  азайса,  қандай  да  бір  ішкі  күштердің  əсерінен  қондырғының 
бұрыштық  жылдамдығы  артқан  болар  еді.  Бұл  эффект  жалпылама  сипатта 
болады. Оны мысалы фигуристер мен гимнастар кең пайдаланады. 
Ақырғы  нəтиженің  ішкі  күштердің  сипатына  тəуелсіз  екендігіне  назар 
аударалық, (ішкі күштер дегеніміз – шарлар мен шыбықтың арасындағы үйкеліс 
күші). 
 
-импульсі уақыт бойынша өзгеріп отыратын тұйықталмаған жүйеде де 
  импульс  моментінің  сақталатын  жағдайы  да  кездеседі.  Таңдалған  санақ 
жүйесінің қайсыбір О нүктесіне қатысты бізге қажетті уақыт ішінде сыртқы 
күштердің қосынды моменті 
сырт
0 сақталады. Тұйықталмаған жүйе үшін 
мұндай  нүктенің  жалпы  болмауы  да  мүмкін.  Сондықтан  əрбір  нақты 
жағдайда əуелі осы шарттарды анықтап алу керек. 
 
1-мысал.  Күннің  ауырлық  өрісінде  қозғалып  жүретін  Жер-Ай  жүйесі  тұйықталмаған 
болып  табылады.  Оның  импульсі  ауырлық  күшінің  əсерінен  үнемі  өзгеріп 
отырады.  Бірақ  өзіне  қатысты  берілген  жүйеге  əсер  ететін  ауырлық  күшінің 
5.11-сурет