142
Шығару жолы. −сосудтағы сұйық деңгейінің төмендеу жылдамдығы тұрақсыз.
Сондықтан əуелі биіктік деңгейінің төмендеуі
d -ке сай d уақытын табамыз.
d
d / .
(1)
Сонан кейін
жылдамдығы мен биіктік деңгейінің арасындағы байланысты
табамыз. Ол үшін (4.71) теңдеуі мен (4.75) Бернулли теңдеуін пайдаланамыз. (4.75)
теңдеуді екі көлденең қима үшін жазамыз: 1
–
ке тең деңгейдің биіктігі; 2 –
ыдыстың төменгі жағынан сұйық шығатын тесік. Сонда екі теңдеудің түрлері келесі
түрде өрнектеледі:
,
/2
g
/2 .
(2)
Бұл жерде екі қима үшін де қысым (атмосфералық) бірдей деп алынады. (2)
теңдеуден
1 тең деп алып, келесі өрнекті табамыз:
2g /
(3)
(3)-ті (1)-ге қойып интегралдап табамыз .
d
2g
2 /g .
4.18. Тұтқырлық. Ұзындығы l=100 м, дөңгелек қимасының радиусы R=25 см тіке
құбырдың ағымы
5,0 м/ . Олай болса сынап отырылған құбырдан судың
стационарлы ағысы кезіндегі оның үйкеліс күшін есептеп табу керек. Судың
тұтқырлығы
1,0 мПа · с.
Шығару жолы. Іздеп отырылған үйкеліс күшін (4.78) формула арқылы табуға
болады. Ол үшін бірінші (4.81) өрнектің
d /dr туындысын
шарты бойынша
есептеп, келесі теңдеуді табамыз:
йк.
2
2
4
2
,
Немесе үйкеліс күшін (4.82) формула арқылы да есептеп табуға болады:
йк.
8
64H.
143
5-тарау
Импульс моментінің сақталу заңы
§ 5.1. Бөлшектің импульс моменті. Күш моменті
Энергия мен импульстің сақталу заңдарымен қатар тағы бір
векторлық сақталу заңы бар, ол импульс моментінің сақталу заңы деп
аталады. бұл қандай шама жəне оның қасиеттерінің қандай?
Бір бөлшектен бастаймыз. − дегеніміз оның
қайсыбір таңдап алынған санақ жүйесінің О
нүктесіне қатысты орнын сипаттайтын радиус-
векторы, ал − оның осы жүйедегі импульсі
болсын. А бөлшектің О нүктесіне қатысты
импульс моменті деп жəне векторлардың
векторлық көбейтіндісіне тең болатын
векторын айтады:
·
(5.1)
Осы анықтамадан вектордың аксиалдық вектор екендігі шығады.
Оның бағыты О нүктесінен айнала бұрылу вектор бағытында болатындай
етіліп алынған, сонда вектор оң бұранда жүйесін түзеді. вектордың
модулі
· sin
·
(5.2)
Бағытында мұндағы − жəне векторлардың арасындағы бұрыш,
· sin − вектордың О нүктесіне қатысты иіні (5.1-сурет).
Моменттер теңдеуі
вектордың берілген санақ жүйесіндегі өзгерісі қандай механикалық
шамаға тəуелді болатындығын анықтайық. Бұл үшін (5.1)-ді уақыт бойынша
дифференциалдаймыз:
d /d
d /d ,
, d /dt .
5.1-сурет
144
О нүктесі тыныштықта болатындықтан,
d /d вектор бөлшектің v
жылдамдығына тең болады, яғни бағыты бойынша вектормен бірдей
түседі, сондықтан:
d /d ,
0.
Одан əрі, Ньютонның екінші заңына сай,
d /d
, мұндағы, – бөлшек түсірілген барлық күштердің
тең əсерлісі. Демек,
d /d
·
Осы теңдеудің оң жағында шаманы күштің О
нүктесіне қатысты күш моменті деп атайды (5.2-
сурет). Oсы N деп белгілеп, жазамыз.
· .
(5.3)
N вектор да М вектор тəрізді аксиалдық болып табылады. Бұл
вектордың модулі да (5.2) тəрізді:
· ,
(5.4)
мұндағы, − вектордың О нүктесіне қатысты иіні (5.2-сурет).
Сонымен, бөлшектің импульс моментінің уақыт бойынша алынған
туындысы таңдап алынған санақ жүйесіндегі қайсыбір О нүктесіне қатысты
моментіне тең болады:
d /d
(5.5)
Бұл теңдеу моменттер теңдеуі деп аталады. Егер санақ жүйесі
инерциялық болмаса, онда күш моментіне өзара əрекеттесу күштерінің
моменттері де, инерция күштерінің моменттері де кіреді (сол О нүктеге
қатысты анықталған). (5.5) моменттер теңдеуінен егер
, болса, онда
болатындығы шығады.
Басқаша айтқанда бөлшекке əсер ететін барлық
күштердің таңдалған санақ жүйесінің қайсыбір О
нүктесіне қатысты анықталған моменті бізге қажетті
уақыт аралығында нөлге тең болса, онда бөлшектің осы
нүктеге қатысты импульс моменті қарастырылып
отырған уақыт аралығында тұрақты болып қалады.
1-мысал. Қайсыбір А планета С- Күн жүйесінің ауырлық өрісінде қозғалады делік.
Гелиоцентрлік санақ жүйесінің қандай нүстесіне қатысты осы планетаның
импульс моменті уақыт бойынша сақталады? Бұл сұраққа жауап алу үшін ең
5.2-сурет.
5.3-сурет
145
бірінші А планетаға қандай күштер əсер ететіндігін анықтау қажет. Біздің
жағдайымыз үшін бұл тек қана бір-ақ күш – F- Күннің ауырлық күші. Планета
үнемі қозғалыста болғандықтан осы күштің бағыты үнемі Күннің центрінен
өтіп отырады. Міне сондықтан іздеп отырған нүктемізге Күннің центрдегі
нүктесі жатады. Осы нүкте арқылы F - күштің моменті əр уақытта нөлге тең
болып отырады да, планетаның импульс моменті тұрақты шама болып қалады.
Бірақ планетаның p-импульсі өзгеріп отырады.
2-мысал. A шайба тегіс горизонталь бетпен сырғанай
отырып, тегіс вертикаль қабыpғадан серпімді
ыршып кетеді. (5.4-сурет, көрініс төбесінен
қарағанда). Осы процесс кезінде шайбаның
импульс моментінің қандай нүктеге қатысты
тұрақты болып қалатындығын анықтау керек.
Шығару жолы. Шайбаға ауырлық күші,
горизонталь жазықтық тарапынан реакция күші,
соқтығысу кезіндегі қабырға тарапынан пайда
болатын - реакция күші əсер етеді. Алғашқы
екі күш бір-бірін теңестіреді де, тек күші ғана қалады. Оның моменті
вектордың əсер сызығында жататын кез келген нүктеге қатысты нөлге тең
болады, демек, осы нүктелердің кез келгеніне қатысты шайбаның импульс
моменті осы процесс кезінде тұрақты болып қалады.
3-мысал. Горизонталь тегіс бетте қозғалмайтын верктикаль цилиндр мен цилиндрге AB
жіппен байланған шайба бар (5.5-сурет, төбесінен көрініс). Шайбаға суретте
көрсетілгендей v бастапқы жылдамдық беріледі. Қозғалыс барысында өзіне
қатысты анықталғандағы шайбаның импульс моментін тұрақты етіп қалдыра
алатын нүкте бола ма?
Шығару жолы. Берілген жағдайда шайбаға
түсірілген
күштердің
ішінен
орнын
толтырмайтын жалғыз күш – жіп тарапынан
болатын керілу күші – F жатады. Қозғалыс
кезінде
F - күштің
моментін
нөлге
айналдыратындай нүктенің жоқ екендігін байқау
қиын емес, яғни, шайбаның өзіне қатысты
анықталған импульс моменті тұрақты болып қалатын нүкте жоқ дегенді
білдіреді.
Осы мысалдан бөлшектің импульс моментінің қозғалыс кезінде
қайсыбір нүктеге қатысты тұрақты бола бермейтіндігін көреміз. (5.5)
моменттер теңдеуі мына екі сұраққа жауап береді:
1) егер бөлшектің берілген О нүктеге қатысты
−импульс
моментінің уақытқа тəуелділігі белгілі болса, онда кез келген t-уақытында
күштің осы нүктеге қатысты N моментін табу мүмкіншілігі;
5.4-сурет
5.5-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
