Умк по инженерному проектированию

Дәріс №9. Сызықтық емес программалау

жүктеу 9,53 Mb.

бет	54/95
Дата	08.02.2018
өлшемі	9,53 Mb.
	#9080

1 ... 50 51 52 53 54 55 56 57 ... 95

Дәріс №9. Сызықтық емес программалау.

Сұрақтар:

1 Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін бөлудің аналитикалық тәсілі.

2 Сызықты емес теңдеулерді шешудің кезеңдері

3 Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін жартылай бөлу әдісімен анықтау.

4 Хордалар әдісі.

5 Ньютон (жанамалар) әдісі.

6 Комбинирленген хордалар және Ньютон (жанамалар) әдісі.

7 Итерациялар әдісі.

Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін бөлудің аналитикалық тәсілі.

Сызықтық емес теңдеулерді 2 классқа бөлуге болады - алгебралық және трансценденттік.

Алгебралық теңдеу деп - тек алгебралық функцияларды қамтитын теңдеуді айтады (бүтін, рационалдық, иррационалдық). Көпмүшелік жиі бүтін алгебралық функция болып келеді. Басқа функцияларды қамтитын теңдеу (тригонометриялық, көрсетімділік, логарифмдік және басқалары) трансцендентті деп аталады.

Сызықтық емес теңдеулерді шешу әдістері екі топқа бөлінеді:

дәл әдістер;
итерационды әдістер.

Дәл әдістер түбірлерді кейбір соңғы қатынастар(формулалар) түрінде жазуға мүмкіндік береді. Алгебраның мектеп курсынан тригонометриялық, логарифмдік, көрсетімдік және жай алгебралық теңдеулерді шешудің мыныдай әдістері белгілі.

f(x) функциясын нөлге ауыстыратын кез-келген ξ мағынасын, яғни:

f(ξ)=0 (1)

(1) теңдеудің түбірі немесе f(x) функциясының нөлі деп аталады.

f(x) = 0 теңдеуінің түбірін итерациондық әдісімен табу есебі 2 буыннан тұрады:

түбірлердің бөлінуі – түбірдің жуықтаудалған мәнін немесе оның құрамындағы кескіндерді іздеу;
жуықтаудалған түбірлерді анықтау – оларды берілген нақтылықтың дәрежесіне жеткізу.

Түбірлерді бөлу процессі f(x) функциясын x = a и x = b облысының шекаралық нүктелерінде белгілерді орнатумен басталады.

Мысал. 5^х -6х -3 =0 трансцеденттік теңдеудің түбірлерін аналитикалық бөлу:

Теңдеуді f(х)= 5^х -6х -3 белгілейік. Бірінші туындыны табамыз f'(х)=5^xln 5 -6. Туындының түбірлерін есептейміз:

f(х) функциясының таңбалар кестесін құраймыз және х: а) функциянық критикалық нүктелеріне (туындының түбірлеріне) немесе оларға жақын; б) шекті мәндерге тең деп жорамалдаймыз:

x	-	1	+
sign f(x)	+	-	+

Функцияның таңбасының өзгеруі екі рет орындалса, онда теңдеудің екі түбірі бар екенін анықтадық. Түбірлердің бөлуді аяқтау үшін алынған кесінділерді кішірейту керек, бұл үшін х-тың бірнеше мәндерін алып кестегі жазамыз:

x	-	-1	0	1	2	+
Sign f(x)	+	+	-	-	+	+

Осыдан белгілеп отыр түбірлер келесі аралықтарды анықталады: x₁,  [-1, 0]; х₂  [1, 2].
2 Мысал.: х⁴ – х³ - 2х² +3х - 3 =0 алгебралық теңдеудің түбірлерін аналитикалық бөлу:

f(x)= х⁴ –х³ -2х² +3х -3, сонда f '(x) = =4х³ -Зх² –4x +3. Туындының түбірлерін табайық:

4х³-3х²-4x+3=0; 4x(x²-1)-3(х²-1)=0; (x²-1)(4x-3)=0; x₁=-l; x₂ = 1; x₃=3/4.

f(х) функциясының таңбалар кестесін құрамыз:

x	-	1	3/4	1	+
sign f(x)	+	-	-	-	+

Кестеден теңдеудің екі түбірі бар екенін анықтадық: x₁,  [-, -1]; х₂  [1, ].

Түбірлер орналасқан аралықтарды қысқартамыз:

X	-	-2	-1	3/4	1	2	+
sign f(x)	+	+	-	-	-	+	+

Сондықтан, x₁,  [-2, -1]; х₂  [1, 2]..

&&&

2. Сызықты емес теңдеулерді шешудің кезеңдері

Бір белгісізімен болған кез-келген теңдеу мынандай түрде жазылуы мүмкін:

f(x) = 0, (1.1)

мұндағы f(x) - полиномиальды немесе трансцендентті функция, кейбір шекті немесе шексіз (а, b) интервалында анықталған.

f(x) функциясын нөлге айналдыратын кез-келген ξ мәні, яғни f( ξ ) = 0, шешімі немесе теңдеудің түбірі деп, (1.1) немесе y = f(x) функциясының нөлі деп аталады .

Теңдеулердің нақты түбірлерін шығару әдетте үш кезеңнен құралады:

(1.1) теңдеуінің барлық түбірлері орналасқан облыстың шектерінің анықтамасы;
түбірлердің бөлінуі, яғни теңдеудің бір тек қана бір түбірі орналасқан [a_k, b_k] аз уақыт аралығының орнату мүмкіндігі, мұндай теңдеулер шектелген деп аталады;
түбірлерді анықтау, яғни берілген анықтау дәрежесімен шешу.

[a, b] кесіндісіне жататын (1) теңдеуінің түбірін табу үшін, бұл кескінді қаққа бөлеміз. Егер f

= 0 , онда а =

теңдеудің түбірі болып келеді. Егер

f

0-ге тең емес, онда f(x) функциясының соңында қарама-қарсы белгісі бар,

немесе

жартысын таңдаймыз. Жаңа кескінді (а₁, b₁)тағы да қаққа бөліп, осы іс-әрекеттерді қайталаймыз.

Жартылай бөлу әдісі теңдеуді дөрекі табу үшін қолдануға қолайлы, әдіс қарапайым және сенімді, әрқашан келіседі.

3.Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін жартылай бөлу әдісімен анықтау.

Есептің нақты нұсқа үшін қойылымы және шығарылған берілгендер:

теңдеуінің түбірін жартылай бөлу әдісін қолданып, е=10^-4дәлдікпен табу, теңдеудің түбірі (0.4, 1) кескінінде жатыр. Басуға түбірдің есептелген мәнін және салыстыру үшін түбірдің дәл мәнін шығару, түбірдің дәл мәні x=0.7376.

Мәндері:

x₀ —түбірдің жуықталған мәні,

е — түбір табудың дәлдігі, пернетақтамен енгізіледі. Енгізілген мәндердің бақылауын қадағалау.

Бағдарламада есептеу және баспаға шығаруды байқау қажет, ондағы түбірдің мәнін берілген нақтылықпен табуға болады.

теңдеуінің [a, b] кесіндісінде бір түбірі болсын. f(x) функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз.

Жартылай бөлу әдісі мынадан құралады:

Басында қаққа бөлу үшін, бастапқы жуықтауды таңдаймыз, яғни х₀ = (a+b)/2. Егер F(x₀)=0, онда x₀ теңдеудің түбірі болып келеді. Егер F(x₀)≠0, онда кескіннің соңында функцияның қарама-қарсы белгісі бар, кескіндердің біреуін таңдаймыз. Алынған кескінді тағы қаққа бөлеміз және осы іс-әрекеттерді қайталаймыз және т.с.с.

Кескіндерді бөлу процессін, соңында қарама-қарсы белгісі бар кескіннің ұзындығы берілген е санынан аз болғанша жалғастырады.

Жартылай бөлу сызбасының блок-сызбасы.

4. Хордалар әдісі.

Хорда әдісінде интеррация процессі (1) теңдеудің түбірінің жуықтауы бойынша АВ хордасының абцисса өсімен қиылысу нүктелері мына мағынаны қабылдайды х₁, х₂, ..., х_n (Сурет 3). Алдымен АВ хордасының теңдеуін жазамыз:

.
АВ хордасының абцисса өсімен қиылысу нүктелері үшін (х = х₁, y = 0) мына теңдеуді аламыз:

а х b ( f'' (x) < 0 кезінде) f'' (x) > 0 анықталғандық үшін біздікіне сәйкес келеді, егер теңдеуді мына түрде жазсақ - f(x) = 0. Онда у = f(x) қисығы төмен бағытталады,сәйкесінше, өзінің АВ хордасынан төмен орналасқан. Екі жағдай мүмкін болады:

1) f(а) > 0, f(b) < 0 2) f(а)<0, f(b)>0

(Сурет 3, а) (Сурет 3, б).

Сурет 3, а, б.

Бірінші жағдайда а –ның соңы қозғалмайды және кезектелген жуықтаулар да x₀ = b басталады ;

(5)

кезектелген шектеулі монотонды кемуін қалыптастырады, сонымен қатар

Екінші жағдайды b-ның соңы қозғалмайды, ал кезекті жуықтаулар: x₀ = а;

(6)

кезектелген шектеулі монотонды өсуін қалыптастырады, сонымен қатар

Осы нәтижелерді жалпылай отырып қорытындылаймыз:

егер соңы қозғалмаса, онда осы соңның f (х) функциясының белгісі үшін оның екінші f'' (х) туындысының белгісімен сәйкес келеді;
x_nкезектелген жуықтаулар түбірінің ар жағында жатады, егер мұндағы f (х) функциясы өзінің белгісіне f'' (х) екінші туындысының қарама-қарсы мағынасың белгісі болса.

Итерациалық процесс сол уақытқа дейін жалғасады, егер │x_i- x_{i -}₁│< е табылмаса, мұндағы, е – берілген шектеулі абсолютті қателік.

жүктеу 9,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 50 51 52 53 54 55 56 57 ... 95