n
физикалық өлшемді шамалармен (мысалы,жылдамдық,
тығыздық, тұтқырлық және т.б.) өрнектелсе және бұл шамалар
m
негізгі
өлшем бірліктерімен (мысалы, масса, ұзындық, уақыт) өлшенсе, онда
мұндай функциялық байланыс – осы шамалардан түзілген (
n-m
) ұқсастық
саны (критерийі) бар санды (критерийлі) теңдеумен өрнектеледі.
Мысалы, нақты (тұтқыр) сұйықтың қалыптасқан қозғалысын қарастырайық.
Мұндай қозғалыста құбырдың бастапқы және соңғы нүктелеріндегі
қысымдар айырмасы (р), құбырдың диаметрі (d) мен ұзындығы (
l
), сұйықтың
тығыздығы (
), тұтқырлығы (
), жылдамдығы (w) және еркін түсу үдеуі (g)
әсер етеді.
Яғни
p =
f
(d,
l
,
,
, w, g
)
Демек, физикалық шамалар саны n = 7, ал негізгі өлшем бірліктер саны m = 3
(кг, с, м). Сонымен
-теоремасы бойынша (2.73) функциялы байланыс (
n
- m) 7 - 3
4 –ұқсастық сан /критерийі/ бар санды теңдеумен өрнектелуі тиіс.
Жалпы функциялы байланысты шамалардың дәрежелі көбейтіндісі арқылы
өрнектейміз, яғни:
Жалпы функциялы байланысты шамалардың дәрежелі көбейтіндісі арқылы
өрнектейміз, яғни:
Шамалардың өлшемін үш негізгі айнымалы M, L, T (масса, ұзындық, уақыт)
арқылы өрнектейміз:
10
Бұл мәндерді (2.79) формулаға қоямыз:
Оң жақтағы жақшаларды ашып бірынғай мүшелерді топтастырамыз
Негізгі өлшемдердің дәреже көрсеткіштерін теңестіреміз.
Бұл теңдеу жүйесің шешу мүмкін емес, себебі теңдеу саны 3, ал белгісіз саны
6, яғни 3 теңдеу жетпейді. Сондықтан үш белгісізді басқа үш белгісіз арқылы
өрнектеуге болады. Мысалы y, z, t өрнектеіміз u, r, s арқылы.
y, z, t дәреже көрсеткіш мәндерін (2.79) формулаға қоямыз:
11
Дәреже көрсеткіштері арқылы ықшамдаймыз:
Мұндағы А, -u, -r, s - тұрақтылары тәжірибе нәтижесінде алынады.
(2.80)-теңдеу - құбыр ішіндегі нақты сұйықтың қалыптасқан қозғалысын
өрнектейтін санды (критерийлі) теңдеу. Шынында да
-теоремасы
көрсеткендей, бұл процесті 4 ұқсастық саны бар теңдеумен өрнектеуге
болады екен.
Мұндағы:
- Эйлер саны
- Рейнольдс саны
- Фруд саны
-геометриялық симплекс.
Дәл осындай теңдеуді Навье-Стокс теңдеуін ұқсастық теория әдісімен
түрлендіріп алғанбыз. Демек, өлшемдер анализінің тәсілі бойынша,
процестерді өрнектейтін санды (критерийлі) теңдеуді шығарып алу үшін
процеске әсер ететін шамалар саны және олардың бірлік өлшемдері белгілі
болса болғаны. Тәжірибе арқылы процестерді зерттеуде бұл тәсілдің маңызы
күшті.
Ұқсастық теориясының ең бір маңызды мақсаты – нақты есепті сипаттайтын
өлшемсіз жалпылама айнымалыларды қорытып шығару. Ондай
айнымалыларды анықтау үшін зерттеліп отырған құбылыстың
дифференциалдық теңдеуі мен бірмәнділік шарттары жеткілікті.
Біз мысал ретінде геометриялық ұқсас екі денеде жүріп жатқан стационар
емес жылуөткізгіштік процестерді қарастырайық. Зерттеу нәтижесінде
стационар емес жылуөткізгіштікті қандай өлшемсіз айнымалы сипаттайды,
екі есептің қандай ұқсастық белгілері болуы мүмкін, яғни қандай шарттар
орындалғанда бір есептің шешімі ұқсас екінші, үшінші, т.б. есептердің
шешіміне сәйкес болады деген сұрақтарға жауап берейік. Ол үшін көптеген
әдістердің арасынан масштабтық көбейткіштер әдісін таңдап алып , екі
есептің дифференциалдық теңдеулерін және III текті беттік шарттарын
жазып шығайық.
Бірінші есеп үшін:
(2.8)
Екінші есеп үшін:
(2.9)
Жылуөткізгіштік процесі геометриялық ұқсас денелерде жүріп
жатқандықтан, бұл құбылыстарды сипаттайтын өлшемді шамалардың
арасында пропорционалдық қатынастар болуы керек екені айқын. Сондықтан
біз төмендегідей пропорционалдық коэффициенттерді қарастыра аламыз
𝐹𝑜
=
𝑎𝑡/
𝐿
2 Фурье саны температуралық өрістерді уақыт бойынша
салыстыруға мүмкіншілік береді. Кейде (мысалы, ортаның температурасы
периодты түрде өзгерген кезде) Фурье санын гомохрондық критерийі деп
атайды. Фурье санының құрамына тәуелсіз айнымалы уақыт кіруіне
байланысты, оны өлшемсіз уақыт және тәуелсіз айнымалы деп қарастыруға
болады.
13
Өлшемсіз комплексті
𝐵𝑖
(Био) саны немесе Био ұқсастық критерийі деп
атайды.
𝐵𝑖
=
𝑎𝐿
𝜆
санының құрамына қарасақ, оны тек есептің мазмұны
бойынша алдын-ала берілетін өлшемді шамалар құрастырғанын байқаймыз.
Сондықтан құрамында тәуелсіз айнымалы уақыт бар Фурье комплексін
анықтаушы Фурье ұқстық саны деп атасақ, алдын-ала есептелетін Био санын
ұқсастық критерийі деген орынды болады. Негізінде Био критерийі
бірмәнділік III текті беттік шарттардан (1.104) туып отыр. Яғни, ол қатты
денедегі температура өрісі мен дене бетіндегі жылу алмасу арасындағы
байланысты өрнектейді. Осыған сәйкес басқа да беттік шарттар үшін тиісті
ұқсастық критерийлерін қорытып шығаруға болады. Мысалы, II-текті беттік
шарт үшін құрамына жылу ағынының беттік тығыздығы енген Кирпичев (Ki)
ұқсастық критерийі қорытылады . Келесі
𝑞𝐿2
/
𝜆𝑇
өлшемсіз комплекстің
мағынасын анықтау үшін, негізгі дифференциалдық теңдеуді өлшемсіз түрде
жазайық. Егер зерттеп отырған дененің негізгі сипаттаушы геометриялық
өлшемін L деп белгілесек, мынадай өлшемсіз координаталарды қарастыруға
болады:
𝑋
=
𝑋/
𝐿
;
𝑌
=
𝑌/
𝐿
;
𝑍
=
𝑍/
𝐿
. (1.117)
Жылуөткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуіне температура тек туынды
арқылы енгендіктен, температураның өзін емес, оның айырымын, яғни
температура өрісінің бастапқы деңгейге қарағанда салыстырмалы өзгеруін
қарастырған қолайлы. Сонымен дененің бастапқы температурасын
𝑇
0 деп
белгілесек, айнымалы температура айырымын
𝜗
=
𝑇
–
𝑇0
Остроградский ұқсастық критерийі деп атайды. Қорыта келе, жоғарыда
айтылғандай, өлшемсіз ұқсастық сандарын үш топқа: құрамында белгісіз
шама бар анықталушы ұқсастық сан (мысалы, θ), құрамында тәуелсіз
айнымалылар бар анықтаушы ұқсастық сан (мысалы, X,Y,Z,
𝐹
0), алдын ала
берілген тұрақты өлшемді шамалардан құрастырылған ұқсастық
критерийлері (мысалы, Os, Bi) деп ажыратуға болады. Негізінде анықтаушы
ұқсастық сандары мен ұқсастық критерийлерін бірге топтастырып,
анықтаушы ұқсастық критерийлері деп те қарастыруға болады.
Жылуөткізгіштік есептерін тұжырымдағанда жылутасымалдау процесі жүріп
тұрған кеңістік бөлігінің пішіні мен өлшемдерін білу қажет. Егер денені
сипаттайтын геометриялық өлшемдер бірнеше
𝑙
𝑖
болса, өлшемсіз шамаларға
37 солардың тек біреуі L ғана кіреді де, қалғандарынан
𝑙
𝑖
L сияқты қосымша
ұқсастық сандар құрастырылады. Жоғарыда айтылғандарды еске ала отырып,
үшінші текті беттік шарт үшін бастапқы температурасы бірқалыпты қатты
денедегі температуралық өрісті мынадай өлшемсіз ұқсастық теңдеуімен
өрнектей аламыз
θ = f(X, Y, Z, Bi, Os,
𝐹
0,
𝑙
𝑖
L ). (3) 14
Бұрын айтылғандай, беттік шарттардың тегіне байланысты Bi саны басқа
ұқсастық критерийлерімен алмастырылуы мүмкін. Барлық ұқсас процестер
үшін келтірілген (1.122) критериалдық теңдеу бірдей болады. Жалпы
физикалық процестердің ұқсастық шарттары былай тұжырымдалады .
●
қарастырылып отырған процестердің физикалық табиғаты бірдей
болуы керек және сыртқы нұсқасы бірдей дифференциалдық
теңдеулермен өрнектелулері керек;
●
бірмәнділік шарттары бірдей болу керек. Тек олардың, яғни шарттарға
кіріп тұрған өлшемді шамалардың, сандық мәндері ғана тең болмауы
мүмкін.
●
Бір атты анықтаушы өлшемсіз шамалар мен ұқсастық критерийлерінің
сандық мәндері бірдей болуы керек.
15
Қорытынды
Қорыта келе,өлшемдер анализінің тәсілі бойынша ,процестерді
өрнектейтін санды теңдеуді шығарып алу үшін процеске әсеп ететін шамалар
саны және олардың бірлік өлшемдері белгілі болса болғаны.Тәжірибе арқылы
процестерді зерттеуде бұл тәсілдің маңызы күшті.
Әдебиеттер тізімі
Беккер М.Е.,Лиепениньш Г.К..Райпулис.Е.П. Биотехнология.1930,38.с
16
Достарыңызбен бөлісу: |
