Сынақтың қайталануы. Бернулли формуласы

 n сынақ жүргізілді, оның  екі нәтижесі ғана бар: A оқиғасы пайда болады және A оқиғасы пайда болмайды. Бұл сынақтар A оқиғасына қарағанда тәуелсіз, яғни әрбір сынақта A оқиғасының пайда болу ықтималдығы басқа сынақтың нәтижесінен тәуелсіз. Әрбір сынақта A оқиғасының пайда болу ықтималдығы бірдей немесе әртүрлі болуы мүмкін. Сынақтарды жүргізу шарттары бірдей болатын жағдайларды қарастырайық, сондықтан  әрбір сынақта A оқиғасы пайда болуы бірдей. Ол   санына тең болсын, онда   – A оқиғасының пайда болмау ықтималдығы. Сынақтардың мұндай тізбегі Бернулли сұлбасы деп аталады.

Келесі болжам жасайық: n сынақта A оқиғасының k рет пайда болуы әртүрлі тізбекте (ретте) жүргізіледі. В күрделі оқиғасының бір жағдайын қарастырайық: A оқиғасы k сынақта пайда болды, ал қалған (n-k) сынақта пайда болмайды, яғни  .  A және   оқиғалары тәуелсіз. Сондықтан көбейту теоремасы бойынша

  = .

 оқиғасына ұқсас оқиға:   оқиғасы k сынақта пайда болатын, ал қалған (n-k) сынақта пайда болмайтын жағдайлар саны n-нен k бойынша теруге тең, яғни  .  Бұл оқиғалардың барлығы тәуелсіз, ал берілген оқиға олардың қосындысына тең. Сондықтан қосу теоремасы бойынша

= .

 формуласы Бернулли формуласы деп аталады.

          Бернулли формуласымен n сынақта  A оқиғасы k  рет пайда болуының ықтималдығын ғана емес, сонымен бірге n сынақта  A оқиғасы k реттен кем емес, (яғни  k немесе k+1, …, немесе n рет, белгіленуі ) және k реттен артық емес (яғни 0 немесе 1,…, немесе k  рет, белгіленуі  ) :

  = ;  = .

          Бернулли формуласымен n үлкен (n>10), ал р өте аз шама болғанда көп есептеулерді талап етеді. Бұл жағдайда   ықтималдығын есептеу үшін жуықтап есептеу формулалары қолданылады.  

1.Бір нысана бойынша бірдей жағдайларда 4 тәуелсіз оқ атылады. Бір атыс кезінде нысанаға түсу ықтималдығы р = 0,33 (q = 0,67). K нысанасының зақымдану ықтималдығын анықтаңыз= 0, 1, 2, 3, 4 рет.

3. Ойын сүйегі 5 рет лақтырылады. 4 санының дәл 0 рет, 1 рет, 2 рет,..., 5 рет түсу ықтималдығын анықтаңыз. Бернулли формуласын қолданамыз.

4. Үш өлшеу жүргізіледі (мысалы, бұрыш). Бұл ретте қателер пайда болуы мүмкін: оң (+) немесе теріс (‒). Үш өлшемде екі рет теріс қателіктердің пайда болу ықтималдығы қандай?

ӨЛШЕУ НӘТИЖЕЛЕРІНІҢ ДӘЛДІГІН БАҒАЛАУ

Практикалық жұмыс № 2

Тапсырма 2. Нақты, орташа квадратты есептеу

және шектік өлшеу қателіктері, тең өлшеулер қатарын өңдеу.

Белгілеулер:

m - бір өлшемнің орташа квадраттық қателігі;

l-өлшеу нәтижесі;

X - өлшенген шаманың нақты мәні;

l₀ - өлшенген шаманың шамамен алынған мәні;

L- арифметикалық орта;

v-өлшенген шамаға түзету;

М-арифметикалық орташа квадраттық қателік;

n-өлшемдер саны;

Мысал 1. Сызық сол бір таспамен 8 рет өлшенеді. Бұл ретте мынадай нәтижелер алынды: 245,15 м; 245,20; 245,00; 245,08; 245,10; 245,05; 245,12; 245,17м. сызықтың нақты ұзындығы-245,12 м. өлшеудің нақты қателіктерін, бір өлшемнің орташа квадраттық және шекті қатесін, бір өлшемнің салыстырмалы шекті қатесін анықтаңыз. Есепті шешу кестеде орындалады. 1.1.

Мысал 2. Бұрыш 5 рет өлшенеді. Өлшеу нәтижелері кестеде келтірілген. 2. Бұрыштың ықтимал мәнін, бір өлшемнің орташа квадраттық қатесін және ықтимал мәннің орташа квадраттық қатесін табыңыз. Мәселенің шешімі кестеде келтірілген. 1.2, мұнда (1.7) және (1.9) формулалары бойынша [v] және [v² ] шамаларын есептеудt бақылау жасалады.

Өздігінен шешуге арналған есептер

2. Кестеде келтірілген сызықты бірнеше рет өлшеу нәтижелері бойынша. 1.4. сызықтық ұзындықтың ең сенімді мәнін, өлшеудің орташа квадраттық қателігін, абсолютті және салыстырмалы соңғы мәннің орташа квадраттық қателіктері. Есеп шешімін кесте түрінде ұсыну. 1.2.

Бұл тапсырманың міндеттері ең күрделі, өйткені өлшеу қателіктері теориясынан басқа функцияларды дұрыс құрастыру үшін геодезия туралы білім қажет. Сіз берілген мысалдарды оқып, өз нұсқаңыздың мәселелерін шешіп, басқалармен танысуыңыз керек. Мәселелерді шешу кезінде кестеден формулаларды қолдану ұсынылады. 1.5.