«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

74
 
 
142] магнит ӛрісінің 
A
 векторлық потенциалын, электр ӛрісінің 
э
W
 энергиясын, 
магнит  ӛрісінің
 
М
W
 энергиясын,  олардың  ең  ҥлкен 
max
э
W
 және 
max
М
W
 мәндерін 
анықтаумен  толықтырылады.  Есептің  алғашқы  бӛлігі  1  суретті  пайдалана 
отырып Максвелл теңдеулерінің: толық ток туралы теореманың; электр ӛрісінің 
кернеулігі  мен  ығысуының;  магнит  ӛрісінің  кернеулігі  мен  индукциясының 
байланыстары;  дифференциалдық  тҥрдегі  Ом  заңының,  электр  ӛрісі 
кернеулігінің  кернеумен  байланысының,  ығысу  тогының  анықтамасының 
кӛмегімен  шешіледі.  Тапсырманың  қосылған  бӛлігінің  орындалу  әдістемесін 
келтірейік. 
 
 
1 сурет – Конденсатордың ӛрісін есептеу контурын алу сҧлбасы 
 
Магнит  ӛрісінің 
A

векторлық  потенциалы  мына  формула  бойынша 
анықталады 
       
rotA
B

                                                         (1) 
A

векторы ток тығыздығы 
ыг
j

 векторымен  бағыттас,  яғни  конденсатор  ӛсімен 
бағытталады.  Цилиндрлік  r,  θ,  z  координаталар  жҥйесінде 
A

векторының  бір 
ғана 
r
A
A
 проекциясы болады. Осыны ескеріп (1) формуладан  
                                     
0
0
sin
cos
2
m
r
rU
dA
B r
t
t
dr
d
                              (2) 
аламыз.  Магнит  индукциясының  конденсатор  ӛсінен  радиал  бағытта 
қашықтаған сайын сызықты ӛсетіндігін кӛреміз. 
(2) ӛрнектен 
           
2
0
0
sin
cos
2
m
r U
A
t
t
const
d
                                 (3) 
r
R
 болған жағдайда A=0 болсын, олай болса  
2
0
0
sin
cos
4
m
R U
const
t
t
d
. 
Тҧрақтының мәнін (3)-ке қойып алатынымыз 
                                    
2
2
0
0
(
)
sin
cos
4
m
U
A r,t
t
t R
r
d
                              
(4) 
Магнит  ӛрісінің  векторлық  потенциалының  конденсатор  ӛсінен  бастап 
радиал бағытта  конденсатордың  шекарасына  дейін параболлалық  кемитіндігін 
байқаймыз. 

75
 
 
Электр ӛрісінің энергиясы 
                                             
2
2
2
2
0
1
1
sin
2
2
э
m
R
W
Cu
U
t
d
                                      (5)
                                            
Максимум мәні 
                                                      
2
2
0
max
1
2
э
m
R
W
U
d
                                               (6) 
Бҧл  жерде  электр  ӛрісі  конденсатор  ішінде  шоғырланған  және  біртекті  деп 
алынады.                                                    
Магнит ӛрісінің энергиясы  
                                                        
2
0
,
2
М
V
B
W
dV
                                                (7) 
мҧндағы 
                                                       
2
dV
rdr d
                                                  (8)
 
- элементар сақинаның кӛлемі. 
(2) және (8) мәндерін (7) формулаға қойғаннан кейін алатынымыз 
                                  
2
2
2
4
2
0
0
max
1
sin
16
М
W
U
R
t
d
                            (9)
 
Магнит ӛрісі энергиясының ең ҥлкен мәні  
                                        
2
2
2
4
max
0
0
max
1
16
М
W
U
R
d
                                 (10) 
Радиусы 
R
,  ҧзындық  бірлігіне  келетін    орам  саны 
n
,  бойымен 
sin
m
i
I
t
 
айнымалы ток ӛтетін соленойдтың магнит ӛрісінің индукциясын (кернеулігін), 
электр  ӛрісінің  кернеулігін  (индукциясын),  ығысу  тогының  тығыздығының 
ы
j
 
соленойдтың  ӛсінен 
r
 қашықтығына  тәуелділігін  табу  есебі  [3:  142]  магнит 
ӛрісінің  энергиясын,  электр  ӛрісінің  энергиясын  есептеумен  толығады.  Бҧл 
жерде  тапсырманың  алғашқы бӛлігі  соленойд ішіндегі магнит ӛрісі  кернеулігі 
ӛрнегінің,  Максвелл  теңдеулерінің:  магнит  индукциясы  мен  кернеулігі 
байланысының;  Максвелл-Фарадей  бойынша  электрмагниттік  индукция 
заңының; электр ӛрісі кернеулігі мен индукциясы байланысының, ығысу тогы 
анықтамасының  ӛрісті  есептеу  контурларын  таңдау  сҧлбаларының  (2  сурет) 
кӛмегімен орындалады. Соленойд ішіндегі ығысу тогы тығыздығының  
                                    
2
0
0
0
2
1
1
sin
2
2
ыг
m
D
d B
j
r
nI
t r
t
dt
                            
(11) 
ӛсінен  бастап  шекарасына  дейін  радиал  бағытта  сызықты  ӛсетіндігін, 
сыртындағы ығысу тогының тығыздығының 
                                   
2
2
2
2
0
0
0
2
1
0, 5
sin
2
ыг
m
d B R
R
j
nI
t
dt
r
r
                           (12) 
соленойдтан  қашықтаған  сайын  гиперболалық  заңдылықпен  кемитіндігін 
кӛреміз. 
Магнит ӛрісінің энергиясы 
                                            
2
2
2
2
2
0
1
1
sin
2
2
м
m
W
Li
n l R I
t
                                    (13)
                                 
Магнит ӛрісі энергиясының ең ҥлкен мәні