265
способов рассуждения имеет особое значение для обеспечения ими в их
будущей работе строгого обоснования в решении задач, доказательстве теорем
и обучении этому своих учеников.
Одним из важнейших разделов математики является дифференциальное и
интегральное исчисление, поэтому особенно важно, чтобы, приступая, скажем,
к решению дифференциальных уравнений в курсе высшей математики,
учащиеся хорошо представляли себе геометрический и физический смысл
производной. Однако не все учащиеся приходят в колледж с достаточными
знаниями по математике, поэтому проводим сопутствующее новому материалу
повторение школьного курса, стараясь при этом сделать шаг вперед в
сложности и значимости изучаемого материала. Так, знакомясь с понятием
дифференциального уравнения, мы рассматриваем решение простейших задач
из геометрии, физики, техники, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Например, такие:
Задача 1. Найти закон движения точки по оси ОХ, если ее начальное
положение (4,0), а скорость может быть найдена по формуле v = 2x²+3x+1.
Задача 2. Найти
уравнение касательной к кривой, заданной уравнением
y = 3x²+5x+2, в точке (2, 3), если известно, что угловой коэффициент
касательной в любой точке вдвое больше абсциссы точки касания.
Задача 3. В дне цилиндрического сосуда с водой имеется малое отверстие.
Скорость вытекания воды пропорциональна квадратному корню из высоты
столба воды в сосуде. За сколько времени вытечет вода из сосуда, если ¾ ее
количества вытекает за 10 секунд?
Решая такие задачи, студенты понимают, что дифференциальные
уравнения отражают реальные закономерности, связи величин в реальных
задачах, даже притом, что в задачах рассматриваются достаточно условные
ситуации. Решив третью задачу, например, учащиеся говорят, что таким
способом можно рассчитать песочные или водяные часы или другой механизм,
в котором имеет место перемещение вещества из одной емкости в другую.
В результате, рассмотрев подобные задачи, учащиеся перестают видеть в
дифференциальных уравнениях только абстрактные зависимости, имеют
представление о реальном наполнении условных связей.
Для учащихся, получающих специальность, связанную с применением
информационных систем в экономике, важно понимание того, что задачи по
математике отражают реальные экономические ситуации. Например, изучая
решение систем линейных уравнений, рассматриваем задачи экономического
содержания, приводящие к таким системам. Вот одна из таких задач.
Задача. Обувная фабрика выпускает изделия трех видов – сапоги, кроссовки и
ботинки, при этом используется сырье трех видов – S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день даны в
таблице.