164
Одной из причин, определяющих недостатки геометрического образования
учащихся средней школы, является переход изучения стереометрии от
планиметрии. Учащиеся привыкли видеть плоскостные фигуры лежащими
только в плоскости классной доски или ученической тетради.
Систематический переход в пространство при изучении геометрии
поможет улучшить уровень геометрического развития учащихся. Этот переход
осуществляется не в изучении отдельных теорем стереометрии, а в
систематическом привлечении пространственных представлений учащихся при
изучении плоскостных фигур. Необходимо разработать систему упражнений
или алгоритм, выполняя которые учащийся будет вынужден рассматривать
изучение плоскостных фигур в пространстве.
Рассмотрим некоторый опыт изучения планиметрии при систематическом
использовании пространственных представлений учащихся.
Как обычно, на начальном этапе изучения геометрии, рассматривают
многочисленные примеры геометрических тел, поверхностей и линий,
окружающих нас в жизни. Дают определение плоскостной и пространственной
фигуры: фигура, все точки которой лежат на одной плоскости, называется
плоскостной. Представление о такой фигуре дает любой рисунок или чертеж,
сделанный на листе бумаги или на классной доске, а так же с применение
различных компьютерных программ, которые дают более достоверные
изображения геометрических фигур.
Геометрическая фигура называется пространственной, если не все ее
точки лежат на одной плоскости. Например, тетраэдр, кур и шар являются
пространственными фигурами [1].
Зададим учащимся вопрос: «Является ли треугольник, лежащий в
плоскости классной доски, пространственной фигурой?». Учащиеся ответят
отрицательно, так как треугольник – фигура плоскостная. А если поставить
вопрос иначе: «Будет ли треугольник плоскостной фигурой, если рассматривать
его не в плоскости классной доски». То соответственно мнения учащихся
разделятся.
Как мы видим, при изучении стереометрии основных трудностей – две.
Первая – отсутствие алгоритмов. Практически каждая задача и каждая
теорема решается и доказывается как новая.
Вторая – неразвитые пространственные представления учащихся.
Успех в обучении стереометрии во многом зависит от того, как учитель
будет преодолевать указанные трудности.
Изучая стереометрию необходимо соединять живость воображения с
логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.
Приводя формулировку определения, теоремы или задачи, нужно, прежде
всего, понять их содержание: представить наглядно, нарисовать и еще лучше,
хотя и труднее всего, представить то, о чем идет речь.
Основная ошибка учащихся старание заучить, не нарисовав, не вообразив
и не представив образ того, о чем идет речь. Нет стремления, понять, как
наглядное представление точно выражается в формулировке определения,
165
теоремы или задачи.
Задача:
«Приведите
пример
двух
одинаковых
неограниченных
поверхностей, не являющихся плоскостями и имеющих единственную общую
прямую». Смысл задания ясен – показать отличие плоскости от другой
поверхности в пространстве. Для ответа учащиеся мобилизуют собственные
наглядные представления и пытаются привести нужные примеры.
Развитию пространственного представления, служит и такой прием: одна и
та же операция проводится в разных ситуациях. Например, учащийся, верно,
изображает высоту правильного тетраэдра, проведенную на основание, но
затрудняется изобразить высоту, проведенную из вершины основания на
боковую грань.
Приведем, следующую, хорошо известную задачу: «В параллелепипеде
АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
, все грани которого равные ромбы с равными острыми углами
при вершине А, построить перпендикуляр из вершины А
1
на плоскость АВС»
[2]. Фактически – та же самая задача, но это надо еще увидеть.
Пожалуй, самое ценное умение, которое можно добиться от учащегося,
развивая его пространственные представления, - умение мысленно оперировать
образами фигур. Вот характерная задача, дающая такую возможность: «В
тетраэдре все ребра, кроме одного, равны 1. Вычислите наибольшее значение
его объема». Из наглядных соображений решение ясно: грань, в которой три
ребра равны 1, примем за основание, тогда общий конец двух других ребер,
равных 1, будет вершиной тетраэдра. При своем движении в пространстве
более всего она будет удалена от плоскости основания в том случае, когда
боковая грань, являющаяся равносторонним треугольником, станет
перпендикулярна основанию.
Отсутствие алгоритмов в геометрии приводит к тому, что существенно
возрастает роль личного опыта учащегося в решении задач, в этом случае ему
можно и нужно помочь. В разнообразных рисунках к задачам достаточной
сложности легко выделить «стандартные блоки», т.е. фигуры, которые
встречаются много раз. Знание этих «блоков», умение их разглядеть в разных
положениях помогает учащемуся решать задачи. В планиметрии таким
«блоком» является треугольник, а в пространстве, соответственно, тетраэдр.
Выделим три основных тетраэдра стереометрии:
1) тетраэдр, у которого все грани – прямоугольные треугольники;
2) тетраэдр, у которого в основании равнобедренный треугольник и
вершина тетраэдра проектируется в общую точку равных сторон
основания;
3) правильная треугольная пирамида.
В идеале учащийся должен знать, что если планиметрическая задача
сводится к соотношению в треугольнике, то она, как правило, решена. Точно
так же, сведение незнакомой стереометрической задачи о связи величин к
нахождению соотношений в указанных «тетраэдрах-блоках» означает
принципиальное решение задачи.
В целом, при целенаправленной работе можно добиться заметных
