Программалау тілдері жоғары оқу орындарына арналған оқулық

 
16 
5)  В3-ті В4-ке бӛл, нәтижені В5 деп ӛрнекте; 
6)  В5-тен 1-ді ал, нәтижені y деп ӛрнекте.  
4. Циркуль және сызғыш кӛмегімен: 
1) Кесіндінің ортасы арқылы перпендикуляр тҧрғызу; 
2) Берілген кесінді диаметр болатындай етіп шеңбер сызу; 
3) Бҧрыштың биссектрисасын табу; 
4) Ҥшбҧрыштың медианалары қиылысу нҥктесін табу алгоритмін қҧрыңдар 
5)  А=100,  В=18  бҥтін  сандарының  ЕҤОБ  табыңдар  және  Евклид  алгоритмінің 
ҥш қадамы (А=В, А>В, А<В) неше рет орындалатынын анықтаңдар.  
1.5 Горнер тәсілі бойынша есептеу алгоритмдері 
Кӛптеген математикалық есептерді шығару кезінде алгоритм тҥсінігі маңыз-
ды  рӛл  атқарады.  Мҧндайда  қҧрастырылған  алгоритм  сипаттайтын  әрекеттер 
әртҥрлі  объектілермен  орындала  береді.  Есептің  шығарылу  алгоритмін 
қҧрастырып,  оның  программасын  жазып  шыққан  соң,  есептің  шарттарына 
кӛңіл бӛлмей-ақ, программаны кӛптеген мысалдарға пайдалана беруге болады.  
Бір  ғана  есепті  шығару  ҥшін  бірнеше  тҥрлі  алгоритм  қҧрастыруға  болады. 
Олардың  кейбірі  компьютердің  бірсыпыра  ресурстарын  (уақытын,  жады 
кӛлемін,  т.с.с.)  пайдаланса,  екіншілері  оның  аз  ғана  бӛлігімен  жҧмыс  істеуі 
мҥмкін. Сондықтан алгоритмдерді қҧрастыру кезінде ең тиімді әрі тез істейтін 
жолды табуға тырысқан жӛн.  
Бірнеше мысалдар қарастырайық. 
1 мысал.  х = 2 болғанда, х
6
 дәрежесін есептеу алгоритмі.  Нәтижесін  у =  х
6
 
деп белгілейік. 
Әдетте х дәрежелерін табу машина тілінде былай орындалады: х = 2 деп алып, 
х
2
, х
3
, х
4
, х
5
, х
6 
мәндерін есептейміз. Мҧны есептеу 5 амалды керек етеді: х
2
 = х 

 х,        
х 
3 
= х
2 

 х, х 
4 
= х
3 

 х, х 
5 
= х
4 

 х, х 
6 
= х
5 

 х. 
Осыларды бҧрынғыша жазып шығайық. 
1)  х-ті  х-ке кӛбейтіп, нәтижесін R
2
 деп белгілеу; 
2)  R
2
-ні х-ке кӛбейтіп, нәтижесін R
3
 деп белгілеу; 
3)  R
3
-ті х-ке кӛбейтіп, нәтижесін R
4
 деп белгілеу; 
4)  R
4
-ті х-ке кӛбейтіп, нәтижесін R
5
 деп белгілеу; 
5)  R
5
-ті х-ке кӛбейтіп, нәтижесін у мәні деп қабылдау. 
Енді басқа алгоритмді алайық: х
2
 = х 

 х, х 
4 
= х
2 

 х
2
, х
6 
= х
4 

 х
2
. Мҧнда 3 амал 
ғана орындалады. 
Екінші жолы қандай дәрежелерді пайдаланғанымызға назар аударыңдар: 1, 
2,  4.  Осы  сандар  екінің  дәрежелері  болып  табылады:  нӛлдік  дәреже  (2
0
  =  1), 
бірлік дәреже 2 = 2
1
, 4 = 2
2  
және 6 = 2
2
 + 2
1
. 
Мысалы, х
13
 дәрежесін табу ҥшін 13 санын екінің дәрежелерінің қосындысы 
тҥріне келтіреміз: 13 = 2
3
 +2
2
 + 2
1
. Бҧдан шығатын алгоритм:  
х
2
 = х 

 х, х
4 
= х
2 

 х
2
, х 
8 
= х
4 

 х
4
, х 
12 
= х
8 

 х
4
, х 
13 
= х
12 

 х. 
х
n
 дәрежесін жылдам есептеудің жалпы ережесі мынадай: 
1)  п-нен аспайтын екінің барлық дәрежелерін есептеу: 2, 4, ...; 

 
17 
2)  п санын екінің әртҥрлі дәрежелерінің қосындысы тҥріне келтіру:                   
п = п
1
 + n
2
+…+ n
k   
 (мҧнда п
1
, п
2
 , ... , п
k
 – екінің әртҥрлі дәрежелері); 
3)  мынадай дәрежені х
n1
 
+
 
п2
 = х
n1
 

 х
п2 
есептеу, одан кейін келесі дәреже                                
х
n1
 
+
 
п2 

 х
n3
 = х
n1
 
+
 
п2 + n3
,  тағы да солай жалғаса береді. 
2 мысал. х
4
 + 2x
3
 + 3x
 2
 – 5х – 15 кӛпмҥшелігі берілген делік. Кӛпмҥшеліктің 
мәнін х=2 болғанда, есептеп шығару керек. 
Әдеттегі тәсіл: х = 2 болғанда,  х
2
, х
3
, х
4
 сандарын анықтау, одан кейін 2х
3
, 3х
2
, 
5х-терді  есептеу,  соңында  қосу  және  азайту  арқылы  кӛпмҥшелік  мәнін  табу. 
Есептеу кезінде он амал орындау керек болды, яғни х
2
 = х 

 х, х 
3 
= х
2 

 х, х
4 
= х
3

 х. 
Кӛпмҥшелік  мәнін  есептеуді  оңайлатуға  болады.  Ол  ҥшін  берілген  кӛп-
мҥшелікті мынадай тҥрде қайта жазып шығамыз: х
4
 + 2х
3
 + 3х
2
 – 5х – 15 = (х
3
 + 
2х
2
 + 3x – 5) х – 15 = ((х
2
 + 2х + 3) х – 5) х –15 = (((х + 2) х + 3) х – 5) х –15, содан 
кейін  амалдарды  жақшалардың  анықтауы  бойынша  рет-ретімен  біртіндеп 
орындаймыз.  Мҧнда  тек  жеті  арифметикалық  амал  орындалады  екен.  Кӛп-
мҥшелік мәнін осылай есептеу тәсілі Горнер схемасы деп аталады. Кез келген 
кӛпмҥшелікке оны қалай пайдалануға болатынын кӛрсетейік. 
а
0
х
3
 + а
1
х
2
 + а
2
х + а
3  
кӛпмҥшелігі берілген делік. Оны мынадай тҥрге ((а
0
х + 
а
1
) х + а
2
) х + а
3
  келтіреміз де, біртіндеп тӛменгі ӛрнектерді есептейміз: 
а
0 
х 
а
0 
х + а
1
 
(а
0 
х + а
1
) х  
(а
0 
х + а
1
) х + а
2
 
((а
0 
х + а
1
) х + а
2
) х 
((а
0 
х + а
1
) х + а
2
) х + а
3
 
Соңғы  шама  кӛпмҥшеліктің  керекті  мәні  болып  шығады.  Осы  тәсілмен 
тӛмендегідей кез келген кӛпмҥшеліктің мәнін табуға болады: 
а
0
х
n
 + а
1
х
n-1
 + . . . + а
n-1 
х + а
n 
 ол ҥшін оны мынадай тҥрге келтіріп алу керек 
(...(а
0 
х + а
1
) х + . . . +  а
n-1
) х + а
n
 
Жаттығулар 
1.  х = 2 болғанда, 2х
3
 – 3х + 5 кӛпмҥшелігінің мәнін  Горнер схемасын пайдаланбай 
анықтау керек. 
2.  х = 0,1 болғанда,  3х
4
 + 2х
2
 + х + 1 кӛпмҥшелігінің мәнін  «тікелей» алгоритммен 
және Горнер схемасы арқылы анықтау керек. Алынған нәтижелерді салыстырыңдар. 
Осы екі тәсілдің де есептеу дәлдігін анықтаңдар. 
3.  Горнер схемасын пайдаланып, тӛмендегі кӛпмҥшеліктердің мәндерін кесте 
тҥрінде қҧрастырып шығыңдар: 
а)  2х
4
 – 1,2x
3
 – 3,5x
2
 + 4; [1; 2] кесіндісі аралығында, қадамы  – 0,2 (осы аралықта 
берілген функцияның экстремумдік нҥктелері бар ма?); 
ә)  4 x
3
 – 0,7 x
2
 + х – 2,18; [0; 4] кесіндісі аралығында, қадамы – 0,5; 
б)  x
3
 – 2,1 x
5
 + 0,2 x
2
 – 4; [-2; 2] кесіндісі аралығында, қадамы – 0,4.