Мысал 3. Зауыт өнімдерінің 75 процентін жоғарғы сортпен шығарады. Шығарылған 10000 бұйымдардың ішінде жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың саны осы жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың математикалық үмітінен айырмасының абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.
Шешуі: Жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдар саны кездейсоқ шама. Оны Х арқылы белгілейік. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестіріммен берілген. М(х) осы кездейсоқ шаманың математикалық үміті. Есептің шарты бойынша n=100000, p=0,75, q=0,25.
Сонда М(х)=1000000,75=750000, D(х)=18750
Осыдан
яғни
Есептер
1. Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңдарымен берілген
х 1 2
р 0,8 0,2
1) Мына теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын табыңыз.
2) Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.
2. Детальдің орташа ұзындығы а=50 см, ал дисперсиясы =0,1. Чебышев теңсіздігін пайдаланып алынған кез-келген детальдың ұзындығы 49,5 сантиметрден 50,5 см аралығында болатынының ықтималдығын бағалаңыз.
3. Кез-келген кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуының абсолют шамасы үш орташа квадраттық ауытқудан артпауының ықтималдығын бағалаңыз.
4. Жарамсыз радиошам жасап шығару ықтималдығы 0,25. Бір партияда 1000 радиошам болса, жарамсыз радиошамдардың саны 250-ден ауытқуы 40-тан кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.
5. Дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген
х 0,3 0,6
р 0,2 0,8
теңсіздігінің орындалу ықтималдығын бағалаңыз.
5. Елді мекенде судың сөткелік шығыны кездейсоқ шама. Оның квадраттық орташа ауытқуы 10000 л. Осы елді мекенде бір күн ішінде су шығынының математикалық үміттен ауытқуының абсолют шамасы 25000 литрден кем болмауының ықтималдығын бағалаңыз.
6. Әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,5. Чебышев теңсіздігін пайдаланып 100 сынақта А оқиғасының 40-тан 60-қа дейінгі аралықта пайда болуының ықтималдығын бағалаңыз.
7. Кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген
Х 1 2 3 4 5 6
Р 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1
Мына теңсіздіктің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.
8. Белгілі бір прибор тәуелсіз жұмыс істейтін 10 элементтен тұрады. Т уақыт ішінде әр элементтің жұмыс істемей қалу ықтималдығы 0,5. Т уақыт ішінде жұмыс істемей қалған элементтер мен осы жұмыс істемей қалған элементтердің орташа санының (математикалық үміті) айырмасының абсолют шамасының; 1) екіден кем болуының, 2) екіден кем болмауының ықтималдықтарын бағалаңыз.
9. Зауытта стандартқа жатпайтын радиошамдар шығару ықтималдығы 0,25. Шығарылған 2000 радиошамдардың ішінде стандартқа жатпайтын шамдар санының 500-ден айырмасы 75-тен кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.
10. Урнада 100 ақ 100 қара шарлар бар. Урнадан кез-келген шар алынып түсі анықталғаннан кейін қайтарылады. Урнадан 50 рет шар алынды. Осы алынған шарлардың ішінде ақ шарлардың саны мына интервалда (15, 35) болуының ықтималдығын бағалаңыз.
Кездейсоқ шама үлестірім заңымен берілген
Х 1 2 3
Р 0,1 0,5 0,4
1.<3 теңсіздігінің орындалу ықтималдығын табыңыз.
2.<3 теңсіздігінің орындалу ықтималдығын бағалаңыз.
2.Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамаларының арқылы математикалық үміттері бар болып және дисперсиялары тұрақты С санымен шектелген болса, онда кез-келген n саны үшін.
орындалады.
Бұл теореманы Чебышев теңсіздігін пайдаланып дәлелдегенде төмендегі бағалау алынады:
/2.5.4/
Егер М(х)=а болса, онда (2.5.3) формула былай жазылады:
Чебышев теоремасының мағынасын түсіндіру үшін мысал қарастырайық. Айталық белгілі бір бұйымның бір өлшемі А болсын. Соны өлшеу керек. Өлшеу кезінде әртүрлі себебтерге байланысты қате кетеді.Сондықтан өлшеу кезінде алынған нәтиже кездейсоқ шама болады. Бұл Х кездейсоқ шаманың математикалық үміті өлшеп отырған А шамасына тең болады, ал дисперсиясы D(х) пайдаланып отырған прибордың дәлдігін көрсетеді. Тәуелсіз n өлшеу жасалық.Сонда сәйкес бірінші, екінші, … , n-ші өлшеулердің нәтижелері. Бұлардың өздері кездейсоқ шамалар, олардың үлестірім заңдары Х-тің үлестірім заңындай болады.Олай болса
кездейсоқ шамада үлестірім заңы да сондай болады. Бірақта n өскен сайын Х-тің кездейсоқ сипаты бірте-бірте жоғала бастайды да ол А-ға жақындай түседі. Х-тің жақындығының шарттары Чебышев теоремасымен берілген. Сонымен теореманың мағынасы:
оқиғасы n мейлінше үлкен болғанда ақиқат оқиға болады. Бұл теореманың практикалық маңызы мынада. Бір нәрсені өлшегенде мейлінше дәл нәтиже алу үшін оны бірнеше рет өлшеп содан кейін алған нәтижелердің арифметикалық орташа мәнін алу керек.
Достарыңызбен бөлісу: |
