4-мысал. Конькиші мұз айдынында тұрып, массасы 10 кг жүкті горизонтқа 30° бұрыш жасай лақтырады. Жүк лақтыру нүктесінен 2,2 м арақашықтыққа құлайды. Егер конькишінің массасы 64 кг болса, оның қозғалысының бастапқы жылдамдығы қандай болады? Лақтыру барысындағы конькишінің орын ауыстыруын ескермеңіз.
3-сурет
Шешуі. Егер жүкке жылдамдық хабарлау уақытындағы конькишінің орын ауыстыруын ескермесек, онда Жер-адам-жүк жүйесіне сыртқы күштер әсер етпейді, және оны тұйықталған жүйе деп қарастыруға болады. Мұндай жүйеде өтетін барлық механикалық құбылыстарда қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы орын алады.
Сұлбада (3-сурет) әр дененің қозғалысқа дейінгі және қозғалыстары өзгергеннен кейінгі қозғалыс мөлшерінің векторларын сызамыз.
Лақтыру алдында барлық денелер тыныштықта болды: олардың әрқайсының қозғалыс мөлшері нольге тең, және олардың векторлық қосындылары да нольге тең. Лақтыру соңында жүктің қозғалыс мөлшері m1υ1, Конькишінікі — m2υ2, Жер шарының — Мж υж (υ1, υ2, υж-бастапқыда конькиші болған нүктеге қатысты денелердің жылдамдықтары). Бұл нүктені қозғалмайды деп қарастыруға болады, себебі есептің шарты бойынша, конькишінің лақтыру кезіндегі орын ауыстыруы өте шамалы.
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңына сәйкес
Қозғалыс мөлшерлерінің векторлары бір-біріне бұрыш жасай бағытталғандықтан, есептеуді жеңілдету үшін теңдеуді проекция түрінде көрсетіп, жазудың векторлық түрінен скаляр түріне көшу керек, (қозғалыс мөлшерлерінің векторларын ось бойынша жіктеу, олар екеуден артық және олар бір-біріне бұрыш жасай бағытталған жағдайда ыңғайлы. Егер де олар екеу болса, онда векторлық қосындыны параллелограмм ережесі бойынша анықтау жеңіл болады). Сонымен, Оху тік бұрышты координаттар жүйесін таңдап алайық, және m1υ1, m2υ2, және Мж υж векторларын Ох және Оу осьтері бойынша құраушыларға жіктейік. Бұл жағдайда жүктің қозғалыс мөлшерінің векторын ғана m1υ1cosα және m2υ2sinα құраушыларына жіктеу қажет, себебі Мжυж және m2υ2 таңдап алған осьтер бойымен бағытталған.
Координат осьтерінің оң бағыттарын ескеріп, қозғалыс мөлшерінің сақталу заңының теңдеуін проекцияларда құрамыз:
Горизонталь үшін
 (1)
және вертикаль үшін
 (2)
Жүктің горизонталь бағыт бойынша l ұшу алыстығын біле отырып, оның бастапқы жылдамдығын анықтауға болады. Бұл арақашықтық келесіге тең:
 (3)
(1), (3) теңдеулерінен конькишінің қозғалысының бастапқы уақытындағы жылдамдығы келесіге тең болады:
 м/с.
(2) теңдеу лақтыру кезіндегі Жердің алатын жылдамдығын анықтауға мүмкіндік береді. Теңдеуді υж қатысты есептеп, келесіні аламыз:
υж өрнегінен бұл жылдамдықтың өте аз екендігі көрінеді, себебі Жердің Мж массасы жүктің массасынан әлдеқайда артық.
5-мысал. Ұзындығы l және массасы М қайық тынық суда тұр. Массалары m1 және m2 балықшылардың біреуі қайықтың алдыңғы бөлігінде, ал екіншісі ортаңғы бөлігінде отыр. Егер балықшылар орындарымен ауысса, қайық қаншаға орын ауыстырар еді? Судың кедергісін ескермеңіз.
Шешуі. Егер судың кедергісін ескермесек, онда қайық-балықшылар жүйесін тұйықталған деп қарастыруға болады, себебі оған әсер ететін сыртқы күштер өзара теңгерілген.
Бастапқыда толық жүйе тыныштықта тұрады, және денелердің қозғалыс мөлшерлерінің қосындысы нольге тең болады. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңына сәйкес, мұндай жүйеде қандай болмасын орын ауыстырулар басталса да, қозғалыс мөлшерлерінің векторлық қосындысы нольге тең болу керек. Сондықтан, балықшы қайық бойымен орын ауыстыра бастаса, қайық оған қарсы қозғалысқа келеді.
υ1 — бірінші балықшының қайыққа қатысты жылдамдығы, ал υ2 — қайықтың, осы балықшы қозғалысы кезінде, алатын жылдамдығы болсын. Онда судың қозғалысын ескермей, келесіні аламыз:
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңының теңдеуін құрған кезде, қозғалмайтын санақ денесіне (біздің жағдай үшін суға қатысты) қатысты әрқашан денелердің абсолют жылдамдықтарын алу керек екендігін естеріңізге салайық. Балықшының абсолют жылдамдығы оның салыстырмалы жылдамдығы мен қайықтың жылдамдығының айырымына тең екендігі анық. υ1 жылдамдығы міндетті түрде υ1қ жылдамдығынан артық болу керек, себебі кері жағдай қозғалыс мөлшерінің сақталу заңына қайшы келеді.
Адам мен қайық бір мезгілде қозғалатындықтан, және балықшының қозғалысының басы мен соңында сәйкесінше жылдамдық алуы мен ақырындауына жұмсалатын уақыт аз болғандықтан, былай жазуға болады:
 және 
мұндағы t және x — сәйкесінше қайықтың қозғалу уақыты және осы уақыттағы орын ауыстыруы. Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, қозғалыс мөлшерінің сақталу заңының теңдеуін төмендегідей жазуға болады:
 (1)
Жоғарыда жасалған тұжырымдарға ұқсас, екінші балықшының қозғалыз теңдеуін құрамыз. Егер екінші балықшының қозғалысы кезіндегі қайықтың ығысуын у арқылы белгілесек, онда
 (2)
Қайықтың қорытынды ығысуы келесі айырымға тең болады:
 (3)
(1)-(3) теңдеулерін шешіп, келесіні аламыз:
Достарыңызбен бөлісу: |
