52
қайталау.
Фрактал ұғымы бірінші рет 19 ғасырда пайда болды.Кантор қарапайым қайталанатын
алгоритмді қолдану арқылы сызықты бір - бірімен байланыссыз нүктелер жиынына
айналдырды (Кантор шаңы деп аталатын). Ол сызықты алып, оның үлкен бір орта бӛлігін
ӛшіріп тастады, содан соң осы амалды қалған кесінділерге қайталады.
Пеано сызықтың ерекше түрінің суретін салды.2 сурет Ол үшін пеано мынадай
алгоритмді пайдаланды.
1- ші қадамында ол түзу алып, оны ұзындығы сызықтан үш есе аз 9 кесіндіге
алмастырды. суреттің 1 және 2 бӛліктері. Ары қарай әр бір кесіндіге осы амалды
шексіздікке дейін қоданды.
Бұл алгоритмнің ерекшелігі, ол
жазықтықтықты толық қамтып
толдырады.Әр бір нүкте үшін Пеано сызығына жататын бір нүкте табылатындығы
дәлелденген. Пеано қисығы және Кантор шаңы - объектілері кәдімгі геометриялық
объектілерге ұқсамайды. Олардың нақты кӛлемі жоқ. Ғылымның басқа да облыстарында
шешімі адам таңқаларлық нәтижеге алып келетін есептер пайда бола бастады. Осындай
ерекше объектілерді жинақтап, фракталь сӛзі мен фрактальдық геометрияның атасы Бенуа
Мандельброт математиканың жаң саласы фрактальдық геометияны ашты.
Мандельброт fraktal деген сӛзді латынның fraktus ( бӛліктерге бӛлінген ) сӛзінен
алды.Фрактальдың анықтамаларының бірі - ол әрбір бӛлігі алдыңғы бӛліктей болып
бӛлінетін бӛліктерден тұратын геометриялық фигура. Мандельброт фракталь түсінігін
ашқаннан кейін, бізді қоршаған ортада фактальдың жиі кездесетіндігі кӛрінді: жапырақ
ӛрнегі, ӛсімдіктің капиллярлық жүйесі т.с.с.
Фрактальдың негізгі қасиеті - ӛзне ұқсау. Фрактальдың кез - келген бір бӛлігі
кішірейтілген үлкен фракталь.
Кесінді аламыз да оның үлкен бір бӛлігінің ортаңғы бӛлігін 60 градустық бұрышпен
сындырамыз. Содан соң осы амалды сынған сызықтардың барлық бӛліктеріне
қолданамыз, ары қарай шексіздікке дейін қайталай береміз.Нәтижеде 1904 жылы Хельга
фон Кох ашқан триадты қисық аламыз.Егер әрбір қадамда тек қана кішірейтіп қоймай,
оны жылжытып және бұрып отырса, онда ӛте қызықты, шынайы объектілерге жақын
нәтиже алады екенбіз.
Мысалы 3 d Studio Max графикалық редакторында ағашты салу үшін фрактельды
алгоритм қолданылады.Қазіргі кезде компьютер ойындарында жер текстураларында да
фрактал қолданылады.
Суреттегі таулар, орман және бұлттар бәрі фракталдар.
Фрактальдық бейнелердің файлдарының кеңейтілуі tif. Кӛбінесе tif форматындағы
файлдар кӛлемі jpg форматындағы
файлдан аз болады, кейде керісінше болуы да мүмкін.
5.2. Фрактал кӛлемі және оның есептелінуі
Күнделікті ӛмірде біз үнемі ӛлшем ұғымымен кездесіп отырамыз.Жолдың ұзындығы,
үйдің кӛлемі және т.с.с. Ал сызық үшін ӛлшем ұғымы екі түсініктен тұрады. 1- ші ӛлшем:
қай нүктеге байланысты сызатынымыз анықталса, осы сызықтағы кез келген нүктені бір
сан оң немесе теріс кӛмегімен анықтай алу.Бұл барлық сызықтар - дӛңгелек, квадрат,
парабола т.с.с. үшін.2- ші ӛлшем: кез келген нүктені екі сан арқылы анықтай алу.
Егер математикалық кӛзқараспен қарайтын болсақ, онда ӛлшем былай анықталады:
бірӛлшемді объектілер үшін, олардың сызықтық ӛлшемін екі есе кӛбейту, оның кӛлемін
екі есе ұлғайтуға әкеліп соқтырады.(2 ^ 1) Екі ӛлшемдік объектілер үшін, олардың
53
сызықтық ӛлшемін екі есе кӛбейту, оның кӛлемін тӛрт есе ұлғайтуға әкеліп соқтырады.
Үш ӛлшемді объектілер үшін, олардың сызықтық ӛлшемін екі есе кӛбейту, оның кӛлемін
үш есе ұлғайтуға әкеліп соқтырады.Сонымен, D кӛлемін, L сызықтық ӛлшемін үлкейтуге
байланысты, S объектінің кӛлемінің ӛзгеруі бойынша есептеуге болады.Пеано қисығының
кӛлемін есептейтік. Үш негізден тұратын берілген сызық ұзындығы Х, ұзындықтан үш есе
кем 9 кесіндімен алмастырылады. Сонымен ең кіші кесіндісін 3 есе кӛбейтсек, берілген
сызық ұзындығы 9 есе кӛбейеді.
D = log (9)\ log (3) = 2 екі ӛлшемді объект
Қарапайым объектіден алынатын фигура кӛлеиі осы объектілер кӛлемінен кӛп болса,
онда ол фрактал болады.
5.3.Геометриялық фракталдар
Фрактал тарихы осы геометриялық фракталда басталады. Фракталдың бұл типі
қарапайым геометриялық сызу арқылы алынады. Бұл фракталдарды салу үшін. алдын ала
кесінділер жиыны таңдалынады. Ары қарай осы жиынға оны бір геометриялық фигураға
айналдыратын ережелер тобын қолданады.Ары қарай осы фигураның әрбір бӛлігіне осы
ережелер тобын қолданады. Әрбір қадам ӛткен сайын, фигура күрделіне береді. Егер
шексіз түрлендірсек, онда геометриялық фрактал аламыз.
Жоғарыда қарастырылған Пеано қисығы геометриялық фракталға жатады.
(Суреттерде) геометриялық фракталдың басқса да мысалдары кӛрсетілген.
1-cурет. Кох қарының түрі
2-Сурет.
Жапырақ
54
3-cурет. Серпинскийдің үшбұрышы
Осы фракталдардың ішінде ең қызықтыратыны және ең кӛп тараған Коха
Снежинкасы.Ол тек қабырғалы үшбұрыш негізінде құрылады. Әрбір сызық ұзындығы
үшбұрыш қабырғасының ұзындығын 1/3 болатын 4 - сызықпен алмастырылады. Осылай
әрбір қайталануда қисық ұзындығы үштен бірге артады.Егер осы амалды шексіз
орындасақ, шексіз ұзындықты Коха снежинкасын аламыз. Демек, біздің шексіз
қисығымыз тұйық облысты қамтитынын кӛреміз.
Коха снежинкасының кӛлемі(снежинканы 3 есе үлкейткенде оның ұзындығы 4 есе
ұлғаяды) D= log (4)/log(3)=1.2619
5.4. Алгебралық фракталдар.
Бұл факталдар алгебралық формулалар негізінде құрылады. Алгебралық
фракталдарды алудың бірнеше жолдары бар.Кӛп тараған әдістерінің бірі Zn+1= f (Zn)
функциясын қайталап орындау арқылы алынады. Мұндағы Z- комплекстік сан, ал f
функция.Бұл функцияны есептеу бір шарттың орындалуына дейін қайталанады.Осы шарт
орындалғанда - экранға нүкте шығады. Функция мәні әр түрлі нүктелер үшін комплекстік
жазықтықта әртүрлі болып орналасуы мүмкін.
- уақыт ӛткен сайын шексіздікке ұмтылады
- 0 - ге ұмтылады
- әртүрлі жалған мәндер қабылдайды да олардың шекарасынан шығып кетпейді
Алгебралық фракталды кӛрсету үшін Мандельброт жиынын қарастырамыз.
4-cурет. Мандельброт жиыны.
Оны құру үшін бізге комплекс сандар қажет. Комплекс сандар дегеніміз - математика
курсы бойынша шынайы және жорымалы бӛліктерден тұратынын білеміз. a+bi. Шынайы
бӛлігі, бұл кәдімгі сан, ал bi – жорымалы бӛлігі. i – ді жорымалы бірлік деп атайды, себебі
егер
біз оны квадраттайтын болсақ, онда –1 аламыз.
Комплекс сандарды қосуға, азайтуға, кӛбейтуге, бӛлуге, дәрежеге шыгаруға болады,
