Лапластың интегралдық теоремасы.
n рет тәуелсіз тәжірибе жасалынды делік. Әр тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р-ға тең (0n тәжірибеде А оқиғасының к1-ден кем болмау, к2-ден көп болмау ықтималдығын Pn(к1, к2) қалай табуға болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді.
Теорема: А оқиғасының әр тәжірибеде пайда болу ықтималдығы р тұрақты, 0 мен 1-ге тең болмаса, онда n тәжірибеде А оқиғасының пайда болу саны к1-ден кем болмау, к2-ден аспау ықтималдығы Pn(к1, к2) жуық шамамен анықталған интегралға тең:
мұндағы және
Анықталмаған интеграл элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін болғандықтан, есепті шешуде арнайы кестелер қолданылады. Егер болса, онда функция Ф(х) Лаплас функциясы деп аталады. Арнайы кестеде (4-әдебиетте) Ф(х) функциясының х-тің оң мәндеріндегі, дәлірек айтқанда 0х5 алатын мәндері келтірілген. х0 болғанда да осы кесте қолданылады, тек бұл жағдайда Ф(х) функциясының тақ екенін ескеру керек, яғни Ф(-х)=-Ф(х), ал х5 болғанда Ф(х)=0,5 деп алынады.
Сонымен, А оқиғасының n тәжірибеде к1-ден к2-ге дейін пайда болу ықтималдығы мынаған тең:
Рn(k1,k2)Ф(х//)-Ф(х/)
Мұндағы және
Мысалдар: 1. Қоймадағы тұқымға арналған астықтың шығымдылығы 80%. Осы астықтан қалай болса солай 100 дән алынған. Олардың ішінде шығымды тұқым саны: а) 68-ден 90-ға дейін; б) 80-нен кем болмау ықтималдықтарын табу керек.
Шешуі: Бір дәннің шығымдылық ықтималдығы р=0,8, ендеше q=1-p=0,2. Дән саны n=100.
а) к1=68, к2=906 я5ни 100 дәннің ішінде шығымды дәндер саны 68-ден 90-ға дейін болу ықтималдығын табамыз. Лапластың интегралдық теоремасын қолдансақ:
Р100(68;90)Ф(х//)-Ф(х/)
х/ пен х// мәндерін табамыз.
ал Ф(х/)=Ф(-3)=-Ф(3).
Кестеден Ф(3)-тің мәнін табамыз, Ф(3)=0,4986.
Онда –Ф(3)=-0,4986.
Ф(х//)=Ф(2,5)=0,4938.
Ізделінді ықтималдық:Р100(68; 90)0,4938+0,4986=0,9924.
б) 100 дәннің ішінде дәндер саны 80-нен кем болмау ықтималдығын табамыз к80, яғни 80к100, ендеше к1=90, ал к2=100 болады.
, Ф(х/)=Ф(0)=0;
, Ф(х//)=Ф(5)=0,4999.
Ендеше Р100(80; 100)Ф(х//)-Ф(х/)=0,4999.
2. Детальдың техникалық бақылау бөлімінің тексеруінен өтпегендігінің ықтималдығы р=0,2. Кездейсоқ алынған 400 детальдың ішінде тексерілмегендерінің саны 70-тен 100-ге дейін болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Есептің шарты бойынша p=0,2; q=0,8; n=400; к1=70; к2=100.
Лапластың интегралдық теоремасын қолданамыз:
Р400(70; 100)Ф(х//)-Ф(х/)
Интегралдың төменгі және жоғарғы шектерін есептейміз:
Олай болса, Р400(70; 100)Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25).
Кесте бойынша Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.
Ізделінді ықтималдық Р400(70; 100)=0,4938+0,3944=0,8822.
Достарыңызбен бөлісу: |