Материалық нүктенің шеңбер бойымен қозғалысы. Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторлары

Материалдық нүкте шеңбер бойымен қозғалғанда оның қозғалысын сипаттау мақсатында сызықтық жылдамдықпен үдеуге ұқсас бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу ұғымдары енгізіледі. Нүкте радиусы R шеңбер бойымен қозғалсын делік.

t уақыт өткеннен кейінгі материалдық нүктенің орны ∆ϕ бұрышы арқылы беріледі. Бұрыштық жылдамдық деп нүктенің бұрылу бұрышынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыны айтады. Бұрыштық жылдамдықтың лездік мәні төмендегі формуламен өрнектеледі:

=

Бұрыштық жылдамдықтың векторының бағыты мектеп физика курсынан белгілі бұранда ережесімен анықталады. Материалдық нүктенің сызықтық жылдамдығының сан мәні мына формуламен есептеледі:

Яғни,υ = ωR формуласы сызықтық жылдамдықпен бұрыштық жылдамдықтың модульдерін байланыстырады. Берілген ω бұрыштық жылдамдықта радиус артқан сайын сызықтық жылдамдық артады. Айналу осінен әртүрлі қашықтықтағы материалдық нүктелердің жылдамдықтары әртүрлі болады. Енді υ  және ω  векторының арасындағы байланысты өрнектейтін формуланы табайық.Қарастырып отырған нүктенің орны r  векторымен анықталады. . сызбасынан векторлық көбейтіндісінің бағыты векторымен бағыттас, ал сан мәні ωrsinα = ωr тең екендігін көреміз, яғни: =

Мұндағы векторлардың бағыттары бұранда ережесімен анықталады. Бұрыштық жылдамдықпен айналу периодының арасындағы байланысты іздейік. ∆t = T уақытта материалдық нүкте бір айналым жасап, 2π бұрышқа бұрылса, төменде келтірілген формула шығады: (∆ϕ = 2π )

(1.4.3)

Толық бір айналым Т уақытта өтетін болғандықтан, бірлік уақыттағы айналым саны мынаған тең:

Осы формулаларды пайдаланып мына теңдікті аламыз:

Олай болса, шеңбер бойымен қозғалатын әрбір нүктенің нормальдық үдеуі төмендегі формуламен есептеледі:

Шеңбер бойымен әртүрлі радиустармен қозғалатын материалдық нүктелердің бұрыштық жылдамдықтары бірдей болғандықтан, (1.4.6) формуласынан радиус өскен сайын нормальдық үдеудің артатындығын көреміз. (1.4.4) және (1.4.5) формулалаларын қолданып, (1.4.6) өрнегін түрлендірсек, төмендегі қатынасты аламыз:

Немесе:

Егер дене шеңбер бойымен айнымалы қозғалса, берілген уақыт мезетіндегі бұрыштық жылдамдықты (1.4.1) пайдаланамыз. Өйткені бұрыштық жылдамдық уақытқа байланысты өзгереді. Осы өзгерісті сипаттау үшін түзу сызықты айнымалы қозғалыстағы лездік үдеуге ұқсас, лездік бұрыштық үдеу ұғымы енгізіледі:

Бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең векторлық шаманы бұрыштық үдеу деп атайды. (1.4.9) формуласынан бұрыштық үдеудің векторы айналу осінің бойымен бұрыштық жылдамдық векторының өсу бағытымен бағыттас болатындығы шығады. Егер қозғалыс үдемелі болса, бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдықпен бағыттас, ал кемімелі болса, қарсы бағытталған

Үдеудің тангенциальдық құраушысының шамасы төмендегі формуламен өрнектеледі:

=R

Шеңбер бойымен қозғалыс бірқалыпты айнымалы болса, түзусызықты айнымалы қозғалысқа ұқсас қозғалыс теңдеулері төмендегідей болып түрленеді:

Мұндағы, - бастапқы бұрыштық жылдамдық. Сонымен сызықтық және бұрыштық шамалардың араларындағы байланыс формулаларын жазайық: