Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті

жүктеу 2,26 Mb.

бет	53/175
Дата	16.01.2020
өлшемі	2,26 Mb.
	#26847

1 ... 49 50 51 52 53 54 55 56 ... 175

2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.
Клеро теңдеуі

2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті

дифференциалдық теңдеулер
2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y^/) және x = f(y^/) түріндегі теңдеулер.

Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады:

Бірінші теңдеулер үшін:

Алмастыруды қолданамыз:

Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз:

Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз.

x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз:

2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.

Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды:

Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’.

Бұл теңдеуді екенін ескере отырып дифференциалдайық:

Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі болса, ондаЛагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады:

Анықтама. Клеро теңдеуі деп: түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады

Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады: алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді:

Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін:

немесе

Бірінші жағдайда:

Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр.

Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады.

Мысал.

теңдеуін шеш.

Шешуі: p = y’делік, сонда

болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда:

немесе

Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда:

Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады:

Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз:

Бұдан,

.

Сондықтан

.

у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ.

жүктеу 2,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 49 50 51 52 53 54 55 56 ... 175