2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті
дифференциалдық теңдеулер
2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y/) және x = f(y/) түріндегі теңдеулер.
Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады:
Бірінші теңдеулер үшін:
Алмастыруды қолданамыз:
Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз:
Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:
Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз.
x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз:
2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.
Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды:
Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’.
Бұл теңдеуді екенін ескере отырып дифференциалдайық:
Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі болса, онда Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады:
Анықтама. Клеро теңдеуі деп: түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады
Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады: алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді:
Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін:
немесе
Бірінші жағдайда:
Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр.
Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:
р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады.
Мысал. теңдеуін шеш.
Шешуі: p = y’делік, сонда болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда: немесе
Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда:
Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады:
Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз:
Бұдан, .
Сондықтан .
у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ.
Достарыңызбен бөлісу: |